5鹿児島大学 2017年 数学 第5問解答・解説

正方形を反時計回りに $OABC$ の順にとる。$A$ を表す複素数を $a\ne0$ とすれば、 $$A=a,\qquad B=(1+i)a,\qquad C=ia.$$ 点 $P,Q$ の順序を考えると、条件 $\displaystyle 0<\arg(w/z)\leq\frac{\pi}{2}$ を満たす比は $$\displaystyle \frac BA=1+i,\qquad \frac CB=\frac{1+i}{2},\qquad \frac CA=i.$$ 偏角は順に $\displaystyle \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}$。逆順なら偏角は負、同じ点なら偏角は0だから、 $$(P,Q)=(A,B),\quad(B,C),\quad(A,C).$$

(2) 各組について $z$ は $P$、$w$ は $Q$ を表し、条件 $w=z^2$ を使う。

$(P,Q)=(A,B)$ では $a^2=(1+i)a$ より $a=1+i$。 $(P,Q)=(B,C)$ では $2ia^2=ia$ より $\displaystyle a=\frac12$。 $(P,Q)=(A,C)$ では $a^2=ia$ より $a=i$。 従って正しい値と各頂点は次の通り。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c} (P,Q)&a&z&w=z^2&(O,A,B,C)\\ \hline (A,B)&1+i&1+i&2i&(0,\ 1+i,\ 2i,\ -1+i)\\ (B,C)&\frac12&\frac{1+i}{2}&\frac i2& (0,\ \frac12,\ \frac{1+i}{2},\ \frac i2)\\ (A,C)&i&i&-1&(0,\ i,\ -1+i,\ -1) \end{array}$$ いずれも頂点を $O,A,B,C$ の順に結べば、反時計回りの正方形になる。複素平面の座標は $(\Re z,\Im z)$ とする。対応する図は $$\displaystyle \begin{array}{c|c} (P,Q)&(O,A,B,C)\text{ の頂点座標}\\ \hline (A,B)&(0,0),(1,1),(0,2),(-1,1)\\ (B,C)&(0,0),(\frac12,0),(\frac12,\frac12),(0,\frac12)\\ (A,C)&(0,0),(0,1),(-1,1),(-1,0) \end{array}$$ である。各行の座標を順に結ぶ。