3鹿児島大学 2017年 数学 第3問解答・解説

次の $\boxed{3\text{-}1}$、$\boxed{3\text{-}2}$、$\boxed{3\text{-}3}$ から1題を選択して解答せよ。解答用紙の所定の欄に、解答する問題の番号を記入すること。

$\boxed{3\text{-}1}$ 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ がある。 $$a_1=2,\quad b_1=1,$$ $$a_{n+1}=2a_n+3b_n-2\quad (n=1,2,3,\ldots),$$ $$b_{n+1}=a_n+4b_n+2\quad (n=1,2,3,\ldots)$$ 次の各問いに答えよ。

(1) $c_n=a_n-b_n$ によって定められる数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) $d_n=a_n+3b_n$ によって定められる数列 $\{d_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$\boxed{3\text{-}2}$ 一辺の長さが1の立方体 $OABC\text{-}DEFG$ において、線分 $BF$ を $2:1$ に内分する点を $P$、線分 $EF$ の中点を $Q$ とする。また、線分 $OF$ と平面 $PQG$ の交点を $R$ とする。次の各問いに答えよ。

(1) ベクトル $\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$ を、$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$、$\vec{c}=\overrightarrow{OC}$、$\vec{d}=\overrightarrow{OD}$ を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{OR}=s\overrightarrow{OF}$ を満たす実数 $s$ を求めよ。

(3) $\triangle PQG$ の重心を $S$ とするとき、線分 $RS$ の長さを求めよ。

$\boxed{3\text{-}3}$ 1枚のコイン投げを $2n$ 回行う。この $2n$ 回のコイン投げで、表が出る合計回数を $X$ とする。ただし、コインの表と裏の出る確率は等しく、$n$ は自然数とする。次の各問いに答えよ。

(1) $X$ の期待値と標準偏差をそれぞれ求めよ。

(2) $\displaystyle \frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}$ を求めよ。ただし、$k=0,1,2,\ldots,2n-1$ とする。

(3) $P(X=k)$ を最大にする $k$ の値を求めよ。

(4) $n=200$ とする。試行回数が大きいとき、$X$ の確率分布は正規分布で近似できることが知られており、試行回数400はこのような近似が成り立つのに十分大きいとみなせる。このことを利用して、$X$ の値が $$190\leq X\leq 210$$ となる確率の近似値を求めよ。ただし、標準正規分布に従う確率変数 $Z$ に対する $P(Z>1)$ の近似値としては0.159を用いよ。