3昭和大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) 漸化式を順に用いると $$\displaystyle a_3=\frac{1+2017}{2016}=\frac{1009}{1008},\qquad a_4=\frac{1+1009/1008}{2017}=\frac{1}{1008},$$ $$\displaystyle a_5=\frac{1+1/1008}{1009/1008}=1,\qquad a_6=\frac{1+1}{1/1008}=2016,\qquad a_7=\frac{1+2016}{1}=2017.$$ したがって $(a_6,a_7)=(a_1,a_2)$ である。すべての項は正であり、同じ漸化式を続けて適用すれば、この5項の並びが繰り返される。よって $$a_5=1,\qquad 2017=5\cdot403+2\ \text{より}\ a_{2017}=a_2=2017.$$

(2) 4球の取り出し方は $\displaystyle \binom74=35$ 通りであり、白球の個数 $X$ は $2,3,4$ のいずれかである。それぞれの場合の取り出し方は $$\displaystyle \binom52\binom22=10,\qquad \binom53\binom21=20,\qquad \binom54\binom20=5$$ 通りだから、 $$\displaystyle E[X]=\frac{2\cdot10+3\cdot20+4\cdot5}{35}=\frac{20}{7}.$$ また $$\displaystyle E[X^2]=\frac{2^2\cdot10+3^2\cdot20+4^2\cdot5}{35}=\frac{60}{7}$$ である。したがって $$\displaystyle \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\{E[X]\}^2 =\frac{60}{7}-\left(\frac{20}{7}\right)^2=\frac{20}{49}.$$