3鹿児島大学 2016年 数学 第3問解答・解説

次の $3-1,3-2,3-3$ から1題を選択して解答せよ。解答用紙の所定の欄に解答する問題の番号を記入すること。　 $3-1$ 数列 $\{a_{n}\}$ を $a_{1}=a_{2}=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\ (n=1,2,3,\dots)$ によって定める。また $\alpha$ を $\displaystyle \alpha=1+\dfrac{1}{\alpha}$ を満たす正の実数とする。次の各問いに答えよ。

(1) 数列 $\{b_{n}\}$ を $\displaystyle b_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$ で定める。$b_{n+1}$ を $b_{n}$ を用いて表せ。

(2) $n=1,2,3,\cdots$ に対して $b_{n}\geq1$ となることを示せ。

(3) $n=1,2,3,\cdots$ に対して $\displaystyle \lvert b_{n+1}-\alpha\rvert\leq\dfrac{1}{\alpha}\lvert b_{n}-\alpha\rvert$ となることを示せ。

(4) $n=1,2,3,\cdots$ に対して $\displaystyle \lvert b_{n}-\alpha\rvert\leq\dfrac{1}{\alpha^{n}}$ となることを示せ。　 $3-2$ 四面体 $OABC$ を考える。辺 $OA$ を $1:1$ に内分する点を $P$ とする。また辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $Q$ として、辺 $OC$ を $3:1$ に内分する点を $R$ とする。さらに三角形 $ABC$ の重心を $G$ とする。3点 $P,Q,R$ を通る平面と線分 $OG$ の交点を $K$ とする。線分 $OK$ と $KG$ の長さの比を求めよ。　 $3-3$ 次の各問いに答えよ。

(1) 1個のさいころを10回投げるとき、1または2の目が出る回数 $X$ の期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ。

(2) 確率変数 $X$ の確率密度関数が $$\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{25}x\quad(0\leq x\leq5)$$ で与えられているとき、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

(3) 2つの事象 $A,B$ について、$A$ と $B$ が独立なら $\overline{A}$ と $B$ も独立であることを示せ。ただし $\overline{A}$ は $A$ の余事象を表す。