5弘前大学 2016年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=x(x^2-4x+3)=x^3-4x^2+3x$ とおく。

(1) $$\displaystyle f'(x)=3x^2-8x+3=0 \quad\text{すなわち}\quad x=\alpha:=\frac{4-\sqrt7}{3},\quad x=\beta:=\frac{4+\sqrt7}{3}.$$ 導関数の符号は $x<\alpha$ と $x>\beta$ で正、$\alpha<x<\beta$ で負だから、$x=\alpha$ が極大点、$x=\beta$ が極小点。臨界点では $3x^2-8x+3=0$ より $x^2=(8x-3)/3,\ x^3=(55x-24)/9$ なので $$\displaystyle f(x)=\frac{12-14x}{9}.$$ これを $\alpha,\beta$ に代入すると $$\displaystyle \boxed{f(\alpha)=\frac{14\sqrt7-20}{27}},\qquad \boxed{f(\beta)=-\frac{20+14\sqrt7}{27}}.$$

(2) $g(x)=x|x^2-4x+3|$、$A=(14\sqrt7-20)/27$、$C=(20+14\sqrt7)/27$ とおく。$\alpha<1<\beta<3$ であり、 $$g(x)= \begin{cases} f(x),&x\leq1\ \text{または}\ x\geq3,\\ -f(x),&1\leq x\leq3. \end{cases}$$ (1)の増減から、$g$ は順に $$\begin{array}{c|ccccc} x\text{ の範囲}&x\le\alpha&\alpha\le x\le1&1\le x\le\beta&\beta\le x\le3&3\le x\\ \hline g(x)&-\infty\nearrow A&A\searrow0&0\nearrow C&C\searrow0&0\nearrow\infty \end{array}$$ と変化する。$0<A<C$。水平線 $y=k$ との交点数を各区間で数えると、異なる実数解の個数は $$\begin{array}{c|rrrrrrr} k&k<0&k=0&0<k<A&k=A&A<k<C&k=C&k>C\\ \hline \text{個数}&1&3&5&4&3&2&1 \end{array}$$ となる。$k=0$ の解は $x=0,1,3$。