7弘前大学 2016年 数学 第7問解答・解説

与式を変形すると $$w(z-2)=iz,\qquad (w-i)z=2w.$$ $w=i$ では $0=2i$ となって矛盾するので、常に $$\displaystyle z=\frac{2w}{w-i} \tag{*}$$ である。

(1) $|z|=2$ より $$\displaystyle \left|\frac{2w}{w-i}\right|=2 \quad\text{すなわち}\quad |w|=|w-i|.$$ $w=x+yi$ とおくと $$\displaystyle x^2+y^2=x^2+(y-1)^2 \quad\text{すなわち}\quad y=\frac12.$$ 逆に、この直線上の任意の $w$ は $w\ne i$ を満たす。$(*)$ で定まる $z$ は $\displaystyle z-2=\frac{2i}{w-i}\ne0$ かつ $|z|=2$ を満たす。したがって軌跡は $\displaystyle \operatorname{Im}w=\frac12$ の直線全体である。

(2) $z=ti\ (t\text{ は実数})$ とおくと $$\displaystyle w=\frac{i(ti)}{ti-2} =\frac{2t+t^2i}{t^2+4}.$$ よって $w=x+yi$ とすれば $$\displaystyle x=\frac{2t}{t^2+4},\qquad y=\frac{t^2}{t^2+4},\qquad x^2+y^2=\frac{t^2}{t^2+4}=y,$$ ゆえに $$\displaystyle x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14.$$ 有限の $t$ では $y<1$ なので $w=i$ は得られない。逆に、この円周上で $w=x+yi\ne i$ とすれば、$(*)$ で定まる $z$ の実部は $$\displaystyle \operatorname{Re}z =\frac{2\{x^2+y(y-1)\}}{x^2+(y-1)^2} =\frac{2(x^2+y^2-y)}{x^2+(y-1)^2}=0.$$ また、この $z$ は虚軸上なので $z\ne2$ であり、元の関係式を満たす。したがって他の円周上の点はすべて虚軸上の $z$ から得られ、軌跡はこの円周から $i$ を除いたものとなる。

(3) $w=t\ (t\text{ は実数})$ とおくと、$(*)$ より $$\displaystyle z=\frac{2t}{t-i} =\frac{2t(t+i)}{t^2+1} =\frac{2t^2}{t^2+1}+\frac{2t}{t^2+1}i.$$ $z=x+yi$ とすれば $$\displaystyle x=\frac{2t^2}{t^2+1},\qquad y=\frac{2t}{t^2+1},\qquad x^2+y^2=\frac{4t^2}{t^2+1}=2x,$$ したがって $$(x-1)^2+y^2=1.$$ 有限の $t$ で $z=2$ となることはない。逆に $(x-1)^2+y^2=1$ は $x^2+y^2=2x$ と同値であり、$z\ne2$ のとき $$\displaystyle \operatorname{Im}\left(\frac{iz}{z-2}\right) =\frac{x^2+y^2-2x}{(x-2)^2+y^2}=0.$$ よって円周上の $z=2$ 以外の点はすべて実数 $w$ から得られ、軌跡はこの円周から $2$ を除いたものとなる。