千葉大学 2005年数学第12問解答・解説

数列平面上の曲線と複素数平面

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1問題

千葉大学2005年度第12問

- [ア] a, k は正の整数とする。下の流れ図のプログラムを実行する。

流れ図は「はじめ」から矢印でx←a、y←0の長方形、黒点A、判定x=1の菱形へ進む。x=1のYesは右へ進んで「おわり」、Noは下の判定「xは奇数」へ進む。奇数のYesは下のx←x+1、Noは右のx←x/2へ進む。どちらも矢印でy←y+1へ合流し、左を回る矢印でAの直前へ戻る。

(1) a = 5, 6, 7, 8 のそれぞれの場合に, このプログラム実行開始から終了までの A 点における x, y の値の表を作成せよ。

(2) a = 9 のとき, このプログラム実行開始から終了までの A 点における x の値を 2 進法で表示せよ。

(3) $a = 2^{k} + 1$ であるとき, プログラム終了時の y の値を k を用いて表せ。

12 - [イ] α は絶対値 1 の複素数とし, 複素数 z に対して, $\displaystyle w = \frac{\overline{\alpha}z - 2}{2z - \alpha}$ とおく。ただし $\overline{\alpha}$ は α の共役複素数を表す。

(1) 複素数平面上で, z が原点と点 $\alpha$ を通る直線上 (ただし, 点 $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ を除く) を動くとき, w を表す点は原点と点 $\overline{\alpha}$ を通る直線上にあることを示せ。

(2) 複素数平面上で, z が不等式 $|z| > 1$ を満たすとき, 複素数 w を表す点はどのような図形上を動くか。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

[イ](1) $z=t\alpha$ とおく。ただし $t\text{ は実数},t\ne1/2$ 。 $|\alpha|=1$ より $\displaystyle w=\frac{t-2}{\alpha(2t-1)}=\frac{t-2}{2t-1}\overline\alpha.$ 係数が実数なので $w$ は原点と $\overline\alpha$ を通る直線上にある。

(2) $u=\overline\alpha z, v=\alpha w$ とおくと $|u|=|z|>1$ であり $\displaystyle v=\frac{u-2}{2u-1},\qquad |2u-1|^2-|u-2|^2=3(|u|^2-1)>0.$ 従って $|v|<1$ 。また $v=1/2$ は $2(u-2)=2u-1$ を生じ不可能。逆に $|v|<1,v\ne1/2$ に対して $u=(v-2)/(2v-1)$ とおけば $|v-2|^2-|2v-1|^2=3(1-|v|^2)>0$ より $|u|>1$ となる。よって $w$ の描く図形は $\boxed{|w|<1,\quad w\ne\overline\alpha/2}.$

この問題で使う考え方

反復計算
二進法
逆変換

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