8千葉大学 2005年 数学 第8問解答・解説

$u=\cos x$ とおくと $-1\le u\le1$ であり、二倍角の公式により $$f(x)=3(2u^2-1)+7u=6u^2+7u-3=(3u-1)(2u+3).$$ この範囲で $2u+3\ge1>0$ だから、$f(x)$ の符号は $3\cos x-1$ の符号で決まる。$\cos x$ は $0\le x\le\pi$ で減少するので、$\alpha=\arccos(1/3)$ とすれば、$0\le x\le\alpha$ では $f(x)\ge0$、$\alpha\le x\le\pi$ では $f(x)\le0$ である。 原始関数を $\displaystyle F(x)=\frac32\sin2x+7\sin x$ とする。$\displaystyle \int_0^\pi f(x)\,dx=F(\pi)-F(0)=0$ より $$\displaystyle \int_0^\pi|f(x)|\,dx=\int_0^\alpha f(x)\,dx-\int_\alpha^\pi f(x)\,dx=2F(\alpha).$$ $\cos\alpha=1/3$、$\displaystyle \sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}$、$\displaystyle \sin2\alpha=\frac{4\sqrt2}{9}$ なので $$\displaystyle 2F(\alpha)=2\left(\frac32\cdot\frac{4\sqrt2}{9}+7\cdot\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\frac{32\sqrt2}{3}.$$