10千葉大学 2005年 数学 第10問解答・解説

(1) $F(x)=x^a-\log x$ とおく。$a>1/e>0$ なので $$\displaystyle F'(x)=\frac{ax^a-1}{x}.$$ 従って $x=a^{-1/a}$ の前で減少、後で増加し、最小値は $$\displaystyle F(a^{-1/a})=\frac{1+\log a}{a}>0.$$ よってすべての $x>0$ で $\boxed{x^a>\log x}$。

(2) $1/e<b<a$ を満たす $b$ をとる。$0<x<1$ で(1)を $u=1/x$、指数 $b$ に適用すると $$\displaystyle 0\le |x^a\log x|=\frac{\log u}{u^a}<u^{b-a}=x^{a-b}\longrightarrow0.$$ はさみうちの原理より求める極限は $\boxed{0}$。

(3) $h(x)=-x\log x\ge0$ とおく。$t\le x\le1$ の範囲 を細分し、各細区間上の $h$ を定数で近似する。その回転体は内外半径 $x,x+\Delta x$、高さ $h$ の円筒で、体積は $\pi\{(x+\Delta x)^2-x^2\}h$。連続性から分割を細かくすれば上下の近似の差は0になり、体積は $$\displaystyle V(t)=2\pi\int_t^1xh(x)\,dx=-2\pi\int_t^1x^2\log x\,dx.$$ 部分積分によって $$\displaystyle V(t)=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}t^3\log t-\frac{2\pi}{9}t^3.$$ (2)を $a=3$ に適用すると $t^3\log t\to0$ だから、$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{t\to+0}V(t)=2\pi/9}$。