9千葉大学 2005年 数学 第9問解答・解説

採用解説: MM-5b37e7b543d8-Q9 結論　 (1) $A^3=E$（すなわち）$b=a^2+a+1$.　　 (2) $A^{2^k}+A^{2^{k-1}}+E=O\quad(k=1,2,\ldots)$.　 　 直接計算すると$$A^2=\begin{pmatrix}a^2-b&-b\\1&(a+1)^2-b\end{pmatrix}$$。$d=b-a^2-a$とおけば$A^2+A+dE=O$。これより$A^3=-A^2-dA=(1-d)A+dE$。

(1) $A^3=E$ならば$(1-d)(A-E)=O$。$A-E$は下左成分が$-1$で零行列ではないので$d=1$、すなわち$b=a^2+a+1$。逆に$d=1$なら$A^2+A+E=O$であり、$(A-E)(A^2+A+E)=A^3-E=O$だから$A^3=E$。よって必要十分条件は$b=a^2+a+1$。

(2) (1)より$A^3=E$かつ$A^2+A+E=O$。任意の$k\ge1$について、$2^k$と$2^{k-1}$を3で割った余りは1と2の組（順はkにより入れ替わる）。$A^3=E$より指数を3で割った余りだけで行列のべきが定まり、したがって$A^{2^k}+A^{2^{k-1}}=A+A^2$。ゆえに$A^{2^k}+A^{2^{k-1}}+E=A^2+A+E=O$。