4京都大学 2004年 数学 第4問解答・解説

$X=(x_{ij})$、$Y=(y_{ij})$ とおいて、積を成分で計算すると $$AX-XB= \begin{pmatrix} (2-\alpha)x_{11}&(2-\beta)x_{12}\\ x_{11}+(1-\alpha)x_{21}&x_{12}+(1-\beta)x_{22} \end{pmatrix}.$$ したがって $AX-XB=Y$ は $$\begin{aligned} y_{11}&=(2-\alpha)x_{11},&\quad y_{21}&=x_{11}+(1-\alpha)x_{21},\\ y_{12}&=(2-\beta)x_{12},& y_{22}&=x_{12}+(1-\beta)x_{22} \end{aligned}$$ と同値である。

まず $\alpha$ について考える。$\alpha=2$ なら常に $y_{11}=0$ となるので、任意の $Y$ には対応できない。$\alpha=1$ なら $y_{11}=x_{11}$、$y_{21}=x_{11}$ となり、常に $y_{21}=y_{11}$ が必要になるため、やはり任意の $Y$ には対応できない。よって必要条件は $\alpha\ne1,2$ である。同様に、$\beta=2$ なら $y_{12}=0$、$\beta=1$ なら $y_{22}=y_{12}$ となるため、必要条件は $\beta\ne1,2$ である。

逆に $\alpha,\beta$ がともに1,2と異なるとする。任意に与えられた $Y$ に対して $$\displaystyle x_{11}=\frac{y_{11}}{2-\alpha},\qquad x_{21}=\frac{y_{21}-x_{11}}{1-\alpha},\qquad x_{12}=\frac{y_{12}}{2-\beta},\qquad x_{22}=\frac{y_{22}-x_{12}}{1-\beta}$$ と定めれば、上の4つの式をすべて満たす。したがって任意の $Y$ に対する $X$ が存在する。

以上より、必要十分条件は $$\boxed{\alpha\ne1,2\quad\text{かつ}\quad\beta\ne1,2}.$$ この議論は2次正方行列の積を成分ごとに計算し、得られた4つの実数の式を解いただけであり、行列式・逆行列・一般的な線形代数の定理は用いていない。