5京都大学 2004年 数学 第5問解答・解説

点 $1,-1$ を結ぶ線分の垂直二等分線は虚軸であるから、円 $C$ の中心を $ci$（$c\text{ は実数}$）とおける。点 $1$ までの距離の2乗は $1+c^2$ なので、円 $C$ の方程式は $$|z-ci|^2=1+c^2,$$ すなわち、$z=u+iv$ とすると $$u^2+v^2-2cv-1=0.$$

$\alpha=a+bi$（$a,b\text{ は実数}$）とおく。$\alpha$ は実数でないので $b\ne0$ であり、$q=a^2+b^2>0$ である。$\alpha$ が $C$ 上にあることから $$q-2cb-1=0, \qquad 2cb=q-1.$$

示すべき点を $w=-1/\overline\alpha$ とおくと $$\displaystyle w=-\frac{a+bi}{q}=-\frac aq-i\frac bq, \qquad |w|^2=\frac1q, \qquad \operatorname{Im}w=-\frac bq.$$ よって円の方程式の左辺は $$\displaystyle |w|^2-2c\operatorname{Im}w-1 =\frac1q+\frac{2cb}{q}-1 =\frac{1+(q-1)-q}{q}=0.$$ したがって $w=-1/\overline\alpha$ は円 $C$ 上にある。