2群馬大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) $\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt3}{2}$ とおくと、$z=\alpha-i\alpha$ である。$z=x+iy$ とすると、有理化により $$\displaystyle \Re\left(\frac{z-i}{z+i}\right)=\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(y+1)^2}.$$ ここで $x=\alpha,\ y=-\alpha$ だから、 $$\displaystyle \Re w=\frac{2\alpha^2-1}{2\alpha^2-2\alpha+1}.$$ $\displaystyle \alpha^2=1+\frac{\sqrt3}{2}$ より分子は $1+\sqrt3$、分母は $2$ である。したがって $\displaystyle \Re w=\frac{1+\sqrt3}{2}$。

(2) $w$ が中心 $-1+i$、半径 $1$ の円周上にある条件は $|w+1-i|=1$ である。$\displaystyle w=\frac{z-i}{z+i}$ を代入し、$z\ne-i$ に注意すると、 $$\displaystyle \left|\frac{z-i}{z+i}+1-i\right|=1 \quad\text{すなわち}\quad |(2-i)z+1|=|z+i|.$$ $z=x+iy$ とおいて両辺を二乗すると、 $$\displaystyle (2x+y+1)^2+(2y-x)^2=x^2+(y+1)^2 \quad\text{すなわち}\quad x^2+y^2+x=0 \quad\text{すなわち}\quad \left(x+\frac12\right)^2+y^2=\frac14.$$ よって軌跡は中心 $\displaystyle (-\frac12,0)$、半径 $\displaystyle \frac12$ の円である。実軸との交点は $(-1,0),(0,0)$ であり、原点で虚軸に接する。除外点 $z=-i$ はこの円周上にないので、軌跡から取り除く点はない。

$z=x+iy$ を用いて $w$ の実部を計算し、$w$ の円周条件を代入すると $\left|(2-i)z+1\right|=\left|z+i\right|$。実部・虚部の平方を展開して得られる軌跡は中心 $\displaystyle (-\frac12,0)$、半径 $\displaystyle \frac12$ の円。$(-1,0),(0,0)$ を通り、原点で虚軸に接する。