9千葉大学 2017年 数学 第9問解答・解説

まず逆式を求めると$z=i(2-w)/(2w-1)$であり、有限の$z$から$w=1/2$は生じない。 (1) $|z|=1$は$|2-w|=|2w-1|$と同値である。$w=x+iy$とおき二乗して展開すると$x^2+y^2=1$。この円は除外点$w=1/2$を含まず、逆式で全点が対応するから、原点中心・半径1の円周全体。 (2) $A=\alpha+2i,B=2\alpha+i$とおく。$|z-\alpha|=1$を逆式で書くと $$|A-Bw|=|2w-1|.$$ 像が$w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$の全体なら、二乗差 $$(|A|^2-1)+(|B|^2-4)r^2-2r\{\operatorname{Re}(A\overline B)\cos\theta+\operatorname{Im}(A\overline B)\sin\theta\}+4r\cos\theta=0$$ が全ての$\theta$で成立する。係数比較より$A\overline B=2$である。 $\alpha=u+iv$とおけば$A\overline B=2u^2+2v^2+5v+2+3ui$だから$u=0$、$v(2v+5)=0$。 $\alpha=0$なら定数項は$3-3r^2=0$で$r=1$。$\alpha=-5i/2$なら$-3/4+12r^2=0$で$r=1/4$。 両候補の像の円は$w=1/2$を含まず、逆式から元の円周全体と対応する。よって $$(r,\alpha)=(1,0),\quad(1/4,-5i/2).$$