12千葉大学 2017年 数学 第12問解答・解説

$C:y=-e^{x-a}+b\quad(a,b\text{ は定数})$ とおく。接点 $x=t$ で傾きが等しいから $$-e^{t-a}=-e^{-t},\qquad a=2t.$$ また点の $y$ 座標が等しいから $$-e^{-t}+b=e^{-t},\qquad b=2e^{-t}.$$ したがって $$C:y=-e^{x-2t}+2e^{-t}.$$

$C'(x)=-e^{x-2t}<0$ であり、 $$C(0)=2e^{-t}-e^{-2t}>0.$$ また $C$ の $x$ 軸との交点は $$-e^{x-2t}+2e^{-t}=0\text{、すなわち } x=t+\log 2>0.$$ よって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S(t)&=\int_0^{t+\log 2}(2e^{-t}-e^{x-2t})\,dx\\ &=e^{-2t}+2e^{-t}(t+\log 2-1). \end{aligned}$$

$L=\log 2$ とおくと $$S'(t)=2e^{-2t}\{e^t(2-t-L)-1\}.$$ ここで $f(t)=e^t(2-t-L)$ とおけば $$f'(t)=e^t(1-t-L).$$ $0<L<1$ より $f$ は $0\le t\le1-L$ で増加し、その後減少する。また $$f(0)=2-L>1,\qquad f(1-L)=e/2>1,\qquad f(2-L)=0.$$ したがって $f(t)=1$ は $1-L<t<2-L$ の範囲にただ1つ解 $\alpha$ をもち、 $$f(t)>1\ (0\le t<\alpha),\qquad f(t)<1\ (t>\alpha).$$ よって $S'(t)$ は $t<\alpha$ で正、$t>\alpha$ で負だから、$S(t)$ は $t=\alpha$ でただ1つ最大となる。

さらに $\displaystyle r=\log\frac{12}{5}$ とすると、与えられた評価より $$\displaystyle f(r)=\frac{12}{5}\left(2-\log\frac{24}{5}\right)> \frac{12}{5}(2-1.57)=1.032>1.$$ ゆえに $r<\alpha$、すなわち $$\displaystyle \alpha>\log\frac{12}{5}.$$ 停留条件 $f(\alpha)=1$ から $2-\alpha-L=e^{-\alpha}$ である。$u=e^{-\alpha}$ とおけば $$\begin{aligned} S(\alpha)&=u^2+2u(\alpha+L-1)\\ &=u^2+2u(1-u)=2u-u^2. \end{aligned}$$ $\displaystyle 0<u<e^{-r}=\frac{5}{12}<1$ であり、$2u-u^2$ は $0<u<1$ で増加するので $$\displaystyle S(\alpha)<2\cdot\frac{5}{12}-\left(\frac{5}{12}\right)^2 =\frac{95}{144}.$$