4山口大学 2021年 数学 第4問解答・解説

・ 点$Q(t,e^t)$での接線は $$y=e^t+e^t(x-t)=e^t(x+1-t)$$ である。$0<t<1$より、$0\leq x\leq1$で$x+1-t>0$だから、この接線と$x$軸の間の面積は $$\displaystyle S_1(t)=\int_0^1 e^t(x+1-t)\,dx =e^t\left(\frac32-t\right).$$ したがって $$\displaystyle S_1'(t)=e^t\left(\frac12-t\right).$$ よって$\displaystyle 0<t<\frac12$で増加し、$\displaystyle \frac12<t<1$で減少する。最大値は$\displaystyle t=\frac12$のときの $$\displaystyle S_1\left(\frac12\right)=e^{1/2}=\sqrt e$$ である。

・ 線分$PQ$、$QR$の下の面積をそれぞれ台形の面積で表すと $$\displaystyle S_2(t)=\frac{t(1+e^t)+(1-t)(e^t+e)}2 =\frac{t+e^t+(1-t)e}{2}.$$ したがって $$\displaystyle S_2'(t)=\frac{e^t-(e-1)}2.$$ $e>2$より$1<e-1<e$であるから、$0<t<1$に$e^t=e-1$を満たすただ一つの値 $$t_0=\log(e-1)$$ がある。指数関数の増加性から、$t<t_0$では$S_2'(t)<0$、$t>t_0$では$S_2'(t)>0$である。ゆえに最小値は $$\displaystyle S_2(t_0)=\frac{2e-1-(e-1)\log(e-1)}2$$ である。

・ $$\displaystyle S_0=\int_0^1e^x\,dx=e-1.$$ 与えられた$S_0\geq S_1(t)$を$\displaystyle t=\frac12$で用いると $$e-1\geq\sqrt e.$$ $u=\sqrt e>0$とおけば$u^2-u-1\geq0$である。正の範囲では$\displaystyle u\geq\frac{1+\sqrt5}{2}$だから、両辺を二乗して $$\displaystyle e\geq\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2 =\frac{3+\sqrt5}{2}$$ を得る。

・ $t_0=\log(e-1)$では$S_2(t_0)$が最小であり、仮定$S_2(t)\geq S_0$から $$\displaystyle e-1=S_0\leq S_2(t_0) =\frac{2e-1-(e-1)\log(e-1)}2$$ である。問題文の不等式に$x=e$を代入すると $$\displaystyle (e-1)\log(e-1)\geq e-2+\frac1{2e}$$ となる。これを上式の右辺に用いれば $$\displaystyle e-1\leq S_2(t_0) \leq\frac{e+1-\frac1{2e}}2.$$ 従って $$2e^2-6e+1\leq0.$$ この二次式の根は$\displaystyle \frac{3-\sqrt7}{2},\frac{3+\sqrt7}{2}$であり、$e>2$だから $$\displaystyle e\leq\frac{3+\sqrt7}{2}$$ を得る。