5山口大学 2021年 数学 第5問解答・解説

(1) 共有点では (sin x=2sin^2x) より $$\sin x(2\sin x-1)=0.$$ (0$\leq$ x$\leq$$\pi$) での共有点は $$\displaystyle (0,0),\quad\left(\frac\pi6,\frac12\right),\quad \left(\frac{5\pi}6,\frac12\right),\quad(\pi,0)$$ である。また ($g'(x)=4\sin x\cos x=2\sin 2x$) だから、(g) は ([0,$\pi$/2]) で増加し、([$\pi$/2,$\pi$]) で減少する。最大値は (g($\pi$/2)=2)、端点での値は0である。(f(x)=$\sin$ x) は端点で0、(x=$\pi$/2) で最大値1をとる。両曲線の上下関係は $$f(x)-g(x)=\sin x(1-2\sin x)$$ から分かり、(f$\geq$ g) は ([0,$\pi$/6]) と ([5$\pi$/6,$\pi$])、(g$\geq$ f) は ([$\pi$/6,5$\pi$/6]) である。これらの共有点と極値を通るようにグラフを描けばよい。

(2) まず直接積分して $$\displaystyle I_1(x)=\int_0^x\sin t\,dt=1-\cos x.$$ また (sin^2t=(1-$\cos$2t)/2) より $$\displaystyle I_2(x)=\int_0^x\sin^2t\,dt=\frac{x-\sin x\cos x}{2}.$$ (n$\geq$3) では部分積分を行うと $$\displaystyle \begin{aligned} I_n(x)&=\int_0^x\sin^{n-1}t\sin t\,dt\\ &=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\int_0^x\sin^{n-2}t\cos^2t\,dt\\ &=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\{I_{n-2}(x)-I_n(x)\}. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle I_n(x)=-\frac1n\{\sin^{n-1}x\cos x-(n-1)I_{n-2}(x)\},$$ となる。

(3) ($\sin$ x=2$\sin^2$x) の解で0以外の最小のものは ($\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$) である。(0$\leq$ x$\leq$$\pi$/6) では (0$\leq$$\sin$ x$\leq$1/2) より (f(x)$\geq$ g(x)$\geq$0)。従って回転体の外半径は (sin x)、内半径は (2$\sin^2$x) であるから $$\displaystyle V=\pi\int_0^{\pi/6}(\sin^2x-4\sin^4x)\,dx =\pi\{I_2(\pi/6)-4I_4(\pi/6)\}.$$ 漸化式と ($\sin$($\pi$/6)=1/2, $\cos$($\pi$/6)=$\sqrt3$/2) より $$\displaystyle I_2(\pi/6)=\frac\pi{12}-\frac{\sqrt3}{8},\qquad I_4(\pi/6)=\frac14\left(3I_2(\pi/6)-\frac{\sqrt3}{16}\right) =\frac\pi{16}-\frac{7\sqrt3}{64}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{V=\frac{5\pi\sqrt3}{16}-\frac{\pi^2}{6}}.$$ これは (0$\leq$ x$\leq$$\pi$/6) で外半径が内半径以上という条件とも整合する。