5千葉大学 2017年 数学 第5問解答・解説

(1) 正 $n$ 角形の隣り合う頂点を結ぶ中心角を $$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$$ とおく。頂点 $A_j$ の位置ベクトルを $\vec u_j$ とすると、$\vec u_{j-1}$ と $\vec u_{j+1}$ は $\vec u_j$ の方向からそれぞれ角 $\theta$ だけ傾いている。$\vec u_j$ 方向の成分はどちらも $\cos\theta$、垂直方向の成分は互いに反対なので、和は $$\vec u_{j-1}+\vec u_{j+1}=2\cos\theta\,\vec u_j=k\vec u_j$$ となる。$A_2,A_3$ に適用すると $$\vec a+\vec c=k\vec b,\qquad \vec b+\vec d=k\vec c.$$ 従って $$\boxed{\vec a=k\vec b-\vec c,\qquad \vec d=k\vec c-\vec b.}$$

(2) $P$ は $A_1A_3$ を $t:(1-t)$ に内分するから $$\vec p=(1-t)\vec a+t\vec c =k(1-t)\vec b+(2t-1)\vec c.$$ また、$P$ が $A_2A_4$ を $s:(1-s)$ に内分するとおけば $$\vec p=(1-s)\vec b+s\vec d=(1-2s)\vec b+ks\vec c.$$ $\vec b,\vec c$ は隣り合う頂点への半径ベクトルで、なす角 $\theta$ は $0<\theta\le\pi/2$。よって平行ではなく係数を比較できる。 $$k(1-t)=1-2s,\qquad 2t-1=ks.$$ 第1式から $s=(1-k+kt)/2$。これを第2式に代入すると $$(4-k^2)t=k+2-k^2.$$ $n\ge4$ より $0\le k=2\cos\theta<2$ だから $4-k^2\ne0$。さらに $$4-k^2=(2-k)(2+k),\qquad k+2-k^2=(2-k)(k+1)$$ なので $$\displaystyle t=\frac{k+1}{k+2}.$$ 端の値を調べると $$\displaystyle t-\frac12=\frac{k}{2(k+2)}\ge0,\qquad \frac34-t=\frac{2-k}{4(k+2)}>0.$$ 従って $\displaystyle \boxed{\frac12\le t<\frac34}$。

(3) $[XYZ]$ を三角形 $XYZ$ の面積とする。$P$ は $A_1A_3$ 上にあり、$P=(1-t)A_1+tA_3$。底辺を共通に $A_2A_3$ と見ると、$A_3$ の高さは0で、$P$ の高さは $A_1$ の高さの $1-t$ 倍だから $$[PA_2A_3]=(1-t)[A_1A_2A_3].$$ 次に $\angle A_2A_1A_3=\theta/2$、$\angle A_2A_1A_4=\theta$（それぞれ対する円弧が $\theta,2\theta$）である。半径1の円で中心角が $\alpha$ の弦の長さは $2\sin(\alpha/2)$ なので $$\displaystyle A_1A_3=2\sin\theta,\qquad A_1A_4=2\sin\frac{3\theta}{2}.$$ 三角形の面積公式 $\displaystyle \frac12 ab\sin C$ を使い、共通辺 $A_1A_2$ を約分すると $$\displaystyle \frac{[A_1A_2A_4]}{[A_1A_2A_3]} =\frac{A_1A_4\sin\theta}{A_1A_3\sin(\theta/2)} =\frac{\sin(3\theta/2)}{\sin(\theta/2)} =1+2\cos\theta=1+k.$$ 最後は $\sin(3u)=\sin u(1+2\cos2u)$ を $u=\theta/2$ として用いた。したがって $$\displaystyle \frac{[PA_2A_3]}{[A_1A_2A_4]} =\frac{1-t}{1+k} =\frac{1}{(k+2)(k+1)}.$$ $0\le k<2$ なので $0<(k+1)(k+2)<12$。よって $$\displaystyle \boxed{\frac{\triangle PA_2A_3}{\triangle A_1A_2A_4}>\frac1{12}}.$$