6弘前大学 2016年 数学 第6問解答・解説

点Pを $P=(u,v)$ とおくと、$u^2+v^2=1$ である。円の点Pにおける接線 $\ell$ は $ux+vy=1$。その法線方向は $(u,v)$ なので、Aを通り$\ell$に垂直な直線を $(x,y)=(6,0)+t(u,v)$ と表せる。 これを$\ell$に代入すると $6u+t=1$、よって $t=1-6u$。したがって $AQ=|t|\sqrt{u^2+v^2}=|6u-1|$。また $Q-P=(6-6u^2,-6uv)=(6v^2,-6uv)$ より、$PQ^2=36v^2(u^2+v^2)=36v^2$、すなわち $PQ=6|v|$。 よって求める積をKとすると、$K=6|v||6u-1|$。$v^2=1-u^2$ だから、$K^2=36h(u)$、ただし $h(u)=(1-u^2)(6u-1)^2$、$-1\le u\le1$。 $h'(u)=2(6u-1)(6+u-12u^2)$。したがって区間内の臨界点は $u=1/6,\ 3/4,\ -2/3$。端点 $u=\pm1$ では $h=0$、また $h(1/6)=0$、$h(3/4)=343/64$、$h(-2/3)=125/9$。$125/9>343/64$ より、最大値は $h(-2/3)=125/9$。 この値は $u=-2/3,\ v=\pm\sqrt5/3$ で実現する。ゆえに $\displaystyle K_{\max}=\sqrt{36\cdot125/9}=10\sqrt5$。