3大阪大学 2016年 数学 第3問解答・解説

放物線上の点の $x$ 座標を $x$ とすると、その点が中心 $O$ の円周上にあるための条件は $$r^2=x^2+2(x-1)^4$$ である。右辺を $g(x)$ とおくと $$g'(x)=2x+8(x-1)^3,\qquad g''(x)=2+24(x-1)^2>0.$$ よって $g$ は下に凸で、ただ1つの最小値をもつ。$g'(1/2)=0$ だから共有点がただ1つとなるのは $$\displaystyle a=\frac12,\qquad b=\sqrt2\left(\frac12-1\right)^2=\frac{\sqrt2}{4}, \qquad r^2=g\left(\frac12\right)=\frac38,$$ すなわち $\displaystyle r=\frac{\sqrt6}{4}$ のときである。

(2) $1/2\le x\le r$ では $x^2\le r^2$ なので、円の外側という条件から回転断面の内半径は $\sqrt{r^2-x^2}$ である。$r\le x\le1$ では $x^2\ge r^2$ なので内半径は0となる。外半径はいずれも $\sqrt2(1-x)^2$。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\pi\int_{1/2}^{r}\left\{2(1-x)^4-(r^2-x^2)\right\}\,dx +\pi\int_r^1 2(1-x)^4\,dx\\ &=\pi\left\{\int_{1/2}^1 2(1-x)^4\,dx-\int_{1/2}^{r}(r^2-x^2)\,dx\right\}\\ &=\pi\left\{\frac1{80}-\left(\frac{\sqrt6}{16}-\frac7{48}\right)\right\} =\frac{\pi(38-15\sqrt6)}{240}. \end{aligned}$$