2大阪大学 2016年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }x+y=c\text{ より} \begin{aligned} \left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)&=1+\frac{x+y+1}{xy}\\ &=1+\frac{c+1}{xy}. \end{aligned} (x-y)^2\geq 0\text{ より }xy\leq\dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{c^2}{4}.\text{ また }c+1>0\text{ だから} \left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)\geq 1+\frac{4(c+1)}{c^2}. \text{等号は }x=y=\dfrac c2\text{ のとき成立する。したがって最小値は }1+\dfrac{4(c+1)}{c^2}\text{ である。} \text{(2) }x,y,z>0\text{ かつ }x+y+z=1\text{ より }0<z<1\text{ であり、} 1-\frac{4}{3z}=\frac{3z-4}{3z}<0. \text{ここで }s=x+y=1-z\text{ とおくと、} \left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)=1+\frac{s+1}{xy}\geq 1+\frac{4(s+1)}{s^2}=\frac{(3-z)^2}{(1-z)^2}, \text{等号は }x=y=\dfrac{1-z}{2}\text{ のとき成立する。最後の因子は負なので、} \left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)\left(1-\frac{4}{3z}\right)\leq -\frac{(3-z)^2(4-3z)}{3z(1-z)^2}. \text{さらに }0<z<1\text{ に対して} \begin{aligned} \frac{(3-z)^2(4-3z)}{3z(1-z)^2}-\frac{125}{3} &=\frac{(3-z)^2(4-3z)-125z(1-z)^2}{3z(1-z)^2}\\ &=\frac{4(2z-1)^2(9-8z)}{3z(1-z)^2}\geq 0. \end{aligned} \text{よって求める式は }-\dfrac{125}{3}\text{ 以下である。等号には }z=\dfrac12\text{ および }x=y=\dfrac{1-z}{2}=\dfrac14\text{ が必要であり、このとき実際に等号が成立する。したがって最大値は }-\dfrac{125}{3}\text{ である。}$$