III順天堂大学 2016年 数学 第III問解答・解説

(1) $|x+y|$ と $|x|+|y|$ はともに0以上である。そこで平方の差を計算すると $$(|x|+|y|)^2-|x+y|^2=2(|x||y|-xy)=2(|xy|-xy)\ge0$$ となる。ここで $|xy|\ge xy$ を用いた。両辺が0以上なので，平方の大小から $$|x+y|\le |x|+|y|$$ が従う。

(2) 四角形 $PQSR$ は凸であり，その対角線 $PS$ と $QR$ は交わる。交点を $X$ とする。三角形の辺の長さの三角不等式から $$PQ\le PX+XQ,\qquad RS\le RX+XS.$$ これらを加え，$X$ が両対角線上にあることを用いれば $$PQ+RS\le (PX+XS)+(XQ+XR)=PS+QR.$$ $R$ または $S$ が辺の端点の場合も，交点が四角形の頂点となる場合を含め同じ不等式が成り立つ。

(3) 三角不等式を2通りずつ使うと $$AB\le AC+CB,\quad AB\le AD+DB,$$ $$CD\le CA+AD,\quad CD\le CB+BD.$$ 上の2式ずつを加え，$AC=CA$ などを用いると $$2AB\le AC+AD+BC+BD,\qquad 2CD\le AC+AD+BC+BD.$$ さらに加えて2で割れば $$AB+CD\le AC+BD+AD+BC$$ を得る。

(4) (3)の証明で等号となるには，$AB\le AC+CB$ と $AB\le AD+DB$ の両方で等号，また $CD\le CA+AD$ と $CD\le CB+BD$ の両方で等号でなければならない。したがって $C,D$ はともに線分 $AB$ 上にあり，$A,B$ はともに線分 $CD$ 上にある。このため線分 $AB$ と線分 $CD$ は一致し，端点の組は $A=C,\ B=D$ または $A=D,\ B=C$ である。逆にこのいずれかなら，$AC=BD=0$ で残る2辺の長さの和が $2AB$ となり，等号が成り立つ。