5大阪大学 2016年 数学 第5問解答・解説

(1) $F=AC\cap BE$ とする。円周角より $\angle BAC=\angle ABE=36^\circ$ であり、正五角形の内角は $108^\circ$ だから、$\triangle ABC$ と $\triangle AFB$ は相似である（対応は $A\leftrightarrow A, B\leftrightarrow F, C\leftrightarrow B$）。したがって $$\displaystyle \frac{AF}{x}=\frac{x}{y},\qquad AF=\frac{x^2}{y},\quad \angle BAF=\angle ABF=36^\circ\text{したがって} AF=BF.$$ また、$\angle CBF=108^\circ-36^\circ=72^\circ$、$\angle BCF=\angle BCA=36^\circ$ より $\angle BFC=72^\circ$。よって $BC=CF=x$ であり、$AF=AC-CF=y-x$。以上から $$x^2=y(y-x).$$

(2) $t=y/x$ とおく。(1)より $t^2-t-1=0$ である。辺ベクトルの向きは隣り合うごとに $72^\circ$ ずつ変わるので、$\vec a$ と $\vec c$ のなす角は $144^\circ$、その和 $\vec a+\vec c$ は $\overrightarrow{BC}$ と同じ向きである。等しい大きさ $x$ の二つのベクトルの和の大きさから $$|\vec a+\vec c|^2=x^2+x^2+2x^2\cos144^\circ=4x^2\cos^2 72^\circ,\quad |\vec a+\vec c|=2x\cos72^\circ.$$ 一方、$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると $y^2=2x^2(1-\cos108^\circ)=4x^2\cos^2 36^\circ$ だから $t=2\cos36^\circ$。よって $$\displaystyle 2\cos72^\circ=4\cos^2 36^\circ-2=t^2-2=t-1=\frac1t,$$ ここで $t^2=t+1$ を用いた。したがって $|\vec a+\vec c|=x/t$ であり、両ベクトルの向きが同じことから $$\displaystyle \overrightarrow{BC}=t(\vec a+\vec c)=\frac{y}{x}(\vec a+\vec c)=\frac{1+\sqrt5}{2}(\vec a+\vec c).$$

(3) (1)で $AF=BF=y-x$ を得た。$G=AD\cap BE$ とする。正五角形の対称性から $GE=BF=y-x$。また $BE$ は対角線なので $BE=y$ である。よって、$R_2$ の一辺 $FG$ は $$FG=BE-BF-GE=y-2(y-x)=2x-y.$$

(1)より $y/x$ は正の解 $(1+\sqrt5)/2$ だから、 $$\displaystyle FG=\left(2-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)x=\frac{3-\sqrt5}{2}x.$$

(4) $q=(3-\sqrt5)/2$ とおくと (3) より $R_{n+1}$ の一辺は $R_n$ の一辺の $q$ 倍である。正五角形は相似なので、$S_{n+1}/S_n=q^2=r$ とおけば $S_k/S_1=r^{k-1}$。ここで $$\displaystyle r=q^2=\frac{7-3\sqrt5}{2},\qquad 0<r<1.$$ したがって $$\displaystyle \frac1{S_1}\sum\limits _{k=1}^n(-1)^{k+1}S_k=\sum\limits _{j=0}^{n-1}(-r)^j\longrightarrow\frac1{1+r}=\frac{3+\sqrt5}{6}.$$