4弘前大学 2016年 数学 第4問解答・解説

まず、(1)の関数を変形すると $$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{\left(x-\frac12\right)^2-\frac14}\qquad(x\ne0,1)$$ となる。したがってグラフは直線 $\displaystyle x=\frac12$ に関して対称である。また、$x\to0$, $x\to1$ で分母が0に近づき、$|x|\to\infty$ で関数値は0に近づくので、漸近線は $x=0,\ x=1,\ y=0$ である。

$x<0$ または $x>1$ では $x(x-1)>0$ なので $y>0$。$x<0$ では $u=-x>0$ とおくと $\displaystyle y=\frac{1}{u(u+1)}$ であり、$x$ が増加すると $u$ は減少して $y$ は増加する。この枝は $x\to-\infty$ で $0$ に上側から近づき、$x\to0-$ で $+\infty$ に向かう。$x>1$ では $u=x-1>0$ とおくと $\displaystyle y=\frac{1}{u(u+1)}$ であり、$x$ とともに $y$ は減少する。この枝は $x\to1+$ で $+\infty$ に向かい、$x\to+\infty$ で $0$ に上側から近づく。

$0<x<1$ では $x(x-1)<0$ なので $y<0$。さらに $\displaystyle x(1-x)\le\frac14$ より $$\displaystyle y=-\frac{1}{x(1-x)}\le-4$$ であり、等号は $\displaystyle x=\frac12$ のときに成り立つ。この枝は $\displaystyle \left(\frac12,-4\right)$ を最高点とし、$x\to0+$ および $x\to1-$ で $-\infty$ に向かう。

(2)で $t=2-x$ とおくと、$x=1,2$ に対してそれぞれ $t=1,0$、また $dx=-dt$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_1^2 x\sqrt{2-x}\,dx &=\int_1^0 (2-t)\sqrt{t}\,(-dt)\\ &=\int_0^1(2t^{1/2}-t^{3/2})\,dt\\ &=\left[\frac43t^{3/2}-\frac25t^{5/2}\right]_0^1 =\frac43-\frac25=\frac{14}{15}. \end{aligned}$$