5信州大学 2016年 数学 第5問解答・解説

半直線 $\ell$ は $y=x\ (x\geq0)$、放物線 $C$ は $$\displaystyle y=\frac{\sqrt2}{4}x^2+\frac{\sqrt2}{2}$$ である。

(1) $C$ の接線の傾きは $\displaystyle y'=\frac{\sqrt2}{2}x$ である。$\ell$ の傾きは $1$ だから、接点の $x$ 座標は $$\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}x=1\quad\text{より}\quad x=\sqrt2.$$ このとき $y=x=\sqrt2$ であり、$x\geq0$ を満たす。したがって接点は $$\boxed{(\sqrt2,\sqrt2)}.$$ 実際、$C$ と $\ell$ の縦の差は $$\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}x^2+\frac{\sqrt2}{2}-x =\frac{\sqrt2}{4}(x-\sqrt2)^2$$ となり、この点で重解をもつ。

(2) 原点から距離 $t$ の $\ell$ 上の点は $$\displaystyle A(t)=\left(\frac{t}{\sqrt2},\frac{t}{\sqrt2}\right)$$ である。これを通る $\ell$ に垂直な直線は傾き $-1$ なので、方程式は $$x+y=\sqrt2t$$ である。これと $C$ の共有点では $y=\sqrt2t-x$ だから $$\displaystyle \sqrt2t-x=\frac{\sqrt2}{4}x^2+\frac{\sqrt2}{2}.$$ 両辺を整理して平方完成すると、これは $$(x+\sqrt2)^2=4t$$ と同値である。 $t\geq0$ より、共有点は $$\boxed{\left(-\sqrt2+2\sqrt t,\ \sqrt2t+\sqrt2-2\sqrt t\right),\quad \left(-\sqrt2-2\sqrt t,\ \sqrt2t+\sqrt2+2\sqrt t\right)}.$$ $t=0$ のときは両者が一致し、共有点は $(-\sqrt2,\sqrt2)$ である。

(3) $\ell$ を軸とする直交座標 $$\displaystyle u=\frac{x+y}{\sqrt2},\qquad v=\frac{y-x}{\sqrt2}$$ を用いる。$u$ は軸方向の距離、$v$ は軸からの符号付き距離である。逆変換は $$\displaystyle x=\frac{u-v}{\sqrt2},\qquad y=\frac{u+v}{\sqrt2}.$$ $\ell$ は $v=0$、$y$ 軸は $u=v$ となる。また、$C$ の式に代入すると $$\displaystyle u+v=\frac{(u-v)^2}{4}+1,$$ したがって $v$ について解けば $$v=u+2\pm2\sqrt{2u}.$$ 囲まれた図形の境界となる放物線の枝は $$v=u+2-2\sqrt{2u}=(\sqrt u-\sqrt2)^2$$ である。$C$ と $y$ 軸の交点は $(x,y)=(0,\sqrt2/2)$、すなわち $(u,v)=(1/2,1/2)$ であり、$C$ と $\ell$ の接点は軸上の $u=2$ にある。よって、軸に垂直な断面の半径は $$r(u)=\begin{cases} u &(0\leq u\leq1/2),\\ (\sqrt u-\sqrt2)^2 &(1/2\leq u\leq2). \end{cases}$$ 各断面を回転すると半径 $r(u)$ の円板になるから、体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^{1/2}u^2\,du+\pi\int_{1/2}^{2}(\sqrt u-\sqrt2)^4\,du\\ &=\pi\cdot\frac1{24}+\pi\cdot\frac7{120}\\ &=\boxed{\frac{\pi}{10}}. \end{aligned}$$ 第2積分では $s=\sqrt2-\sqrt u$ とおくと $$\displaystyle \int_{1/2}^{2}(\sqrt u-\sqrt2)^4du =2\int_0^{1/\sqrt2}s^4(\sqrt2-s)\,ds =2\left[\frac{\sqrt2}{5}s^5-\frac16s^6\right]_0^{1/\sqrt2} =\frac7{120}$$ を得る。