3山口大学 2001年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle f(x)=\sum\limits _{j=1}^n|x-i_j|$ は、出目の値が変わる場所ごとに傾きが変化する。したがって屈折点の個数は、出た目の異なる値の個数に等しい。 (1) 出目 $5,2,3$ のとき $$f(x)= \begin{cases} 10-3x &(x\le2),\\ 6-x &(2\le x\le3),\\ x &(3\le x\le5),\\ 3x-10 &(x\ge5). \end{cases}$$ よってグラフは点 $(2,4),(3,3),(5,5)$ を屈折点とする折れ線で、各区間の傾きは $-3,-1,1,3$。

(2) 全事象は $6^3=216$ 通り。 $$\displaystyle P_3(1)=\frac{6}{216}=\frac1{36}.$$ ちょうど2種類の目が出る場合は、目の2種類を選ぶ方法が $\displaystyle \binom62$、その2種類を両方含む並び方が $2^3-2$ 通りなので $$\displaystyle P_3(2)=\frac{\binom62(2^3-2)}{216}=\frac5{12}.$$ 3種類がすべて異なる並び方は $6\cdot5\cdot4$ 通りだから $$\displaystyle P_3(3)=\frac{6\cdot5\cdot4}{216}=\frac59.$$ (3) 全事象は $6^4=1296$ 通り。ちょうど2種類なら $$\displaystyle P_4(2)=\frac{\binom62(2^4-2)}{1296}=\frac{35}{216}.$$ ちょうど3種類では、出る3種類の選び方が $\displaystyle \binom63$。そのうち1種類だけが2回出るものは、繰り返す目を3通り、位置を $\displaystyle \binom42$ 通り、残る2位置への異なる目の並べ方を $2!$ 通り選べる。よって $$\displaystyle P_4(3)=\frac{\binom63\cdot3\binom42\cdot2!}{1296}=\frac59.$$

折れ線の折れ点は出目の異なる値ごとに1つできる。(1)は絶対値を区間ごとに外し、4本の直線をつないで描く。(2)(3)は使われる目の種類数を数え、全てのサイコロの出方で割る。 (1) では折れ点(2,4),(3,3),(5,5)を通る折れ線を座標軸上に描き、左右の半直線も矢印で示す。