2山口大学 2001年 数学 第2問解答・解説

(1) $n=1$ では $A^1=A$ である。ある $n\ge1$ について $$\displaystyle A^n=\begin{pmatrix} a^n&b\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}d^k\\ 0&d^n \end{pmatrix}$$ と仮定する。このとき $$\displaystyle A^{n+1}=A^nA= \begin{pmatrix} a^{n+1}&b\left(a^n+d\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}d^k\right)\\ 0&d^{n+1} \end{pmatrix}.$$ ここで $$\displaystyle a^n+d\sum\limits _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}d^k =\sum\limits _{k=0}^{n}a^{n-k}d^k$$ だから、帰納法により $$\displaystyle A^n=\begin{pmatrix} a^n&b\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}d^k\\ 0&d^n \end{pmatrix}\quad(n\ge1).$$ したがって $$\displaystyle a_n=a^n,\quad b_n=b\sum\limits _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}d^k,\quad c_n=0,\quad d_n=d^n.$$ また $a\ne d$ なら等比和より $\displaystyle b_n=b\dfrac{a^n-d^n}{a-d}$ であり、$a=d$ なら和は $n$ 個の同じ項となる。

(2) $n$ を奇数とし $A^n=E$ とする。対角成分を比べて $a^n=d^n=1$。$a,d$ は実数で $n$ は奇数だから $a=d=1$ である。このとき (1) より $\displaystyle b_n=b\sum\limits _{k=0}^{n-1}1=nb$。$A^n=E$ より $b_n=0$ であり、$n\ge1$ だから $b=0$。下側の成分はもともと $0$ なので $A=E$。

(3) $n$ を偶数とし $A^n=E$ とする。$a^n=d^n=1$ より、実数 $a,d$ はそれぞれ $1$ または $-1$ である。 まず $a=d$ の場合、(1) の和は $n a^{n-1}$ だから $b_n=nb a^{n-1}=0$。$n\ne0$ かつ $a^{n-1}\ne0$ より $b=0$。したがって $$A^2=\begin{pmatrix}a^2&b(a+d)\\0&d^2\end{pmatrix}=E.$$ 次に $a\ne d$ の場合、$a,d$ はそれぞれ $1$ または $-1$ であるから $a+d=0$。また $a^2=d^2=1$ だから、同じく $$A^2=\begin{pmatrix}a^2&b(a+d)\\0&d^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E.$$ 以上より、偶数 $n$ に対しても $A^2=E$ である。