1名古屋大学 2003年 数学 第1問解答・解説

$\alpha$ は与えられた二次方程式の解なので、$q+p\alpha=\alpha^2$ である。行列の成分を直接計算すると $$\begin{pmatrix}q&p\\pq&p^2+q\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\alpha\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}q+p\alpha\\p(q+p\alpha)+q\alpha\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha^2\\\alpha^3\end{pmatrix}.$$ したがって帰納的に $b_n=\alpha a_n$ となり、漸化式は $$a_0=0,\qquad a_n=\alpha^2a_{n-1}+1$$ と整理できる。

(1) 順に代入すると $$P_2=(1+\alpha^2,\alpha+\alpha^3),\qquad P_3=(1+\alpha^2+\alpha^4,\alpha+\alpha^3+\alpha^5).$$

(2) $n\ge1$ に対して等比数列の和より $$\displaystyle a_n=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\alpha^{2k} =\begin{cases} \dfrac{1-\alpha^{2n}}{1-\alpha^2},&\alpha^2\ne1,\\ n,&\alpha^2=1, \end{cases} \qquad b_n=\alpha a_n.$$ $n=0$ では初期条件どおり $P_0=(0,0)$ である。

(3) $0\le\alpha^2<1$ なら $\alpha^{2n}\to0$ であり、 $$\displaystyle P_n\longrightarrow\left(\frac1{1-\alpha^2},\frac\alpha{1-\alpha^2}\right).$$ 一方、$\alpha^2\ge1$ なら上の和の各項が1以上なので $a_n\ge n$ となり、有限な点へ収束しない。 したがって必要十分条件は $\boxed{-1<\alpha<1}$、極限点は上記の点である。