名古屋大学 2003年数学第4a,4b第4問の選択肢問解答・解説

1問題

名古屋大学2003年度第4a,4b第4問の選択肢問

〔p.4〕第4問は選択問題である。つぎの④(a)または別紙の④(b)のいずれか一方を選んで解答せよ。 4(a)

(1) 平行四辺形 ABCD において、AB = CD = a, BC = AD = b, BD = c, AC = d とする。このとき、a² + b² = 1/2(c² + d²) が成り立つことを証明せよ。

(2) 3つの正数 a, b, c (0 < a ≦ b ≦ c) が a² + b² > c² を満たすとき、各面の三角形の辺の長さを a, b, c とする四面体が作れることを証明せよ。〔p.5・別紙〕第4問は選択問題である。つぎの④(b)または別紙の④(a)のいずれか一方を選んで解答せよ。 4(b) 各点で微分可能な関数 y = f(x) のグラフが右の図で与えられている。

「y=f(x)のグラフ」とあり、正方向の矢印がある横軸x、縦軸yに曲線が描かれている。曲線は左側のy=1の水平部分から下がり、x=−2でx軸を横切り、x=−1付近のy=−1で谷となり、原点を通ってx=1付近のy=1で山となる。その後は下がってx=2でx軸を横切り、右側のy=−1の水平部分につながる。横軸は−4から4まで1刻み、縦軸には−1、1、2と記されている。谷(−1,−1)付近から山(1,1)付近までは原点を通る傾き1の直線で、x≦−3付近はy=1、x≧3付近はy=−1で一定である。

このとき、y = f′(x) と y = ∫₀ˣ f(t) dt のグラフの概形を解答欄の所定の位置に描け。また、そのようなグラフを描いたポイントを列挙して説明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

4(b)
f′は偶関数の概形で、|x|≧3では0、 $−3<x<−1$ と $1<x<3$ で負、 $−1<x<1$ で正。 $f′(−3)=f′(−1)=f′(1)=f′(3)=0$ 。Fは偶関数、 $F(0)=0$ で $x=0$ に極小、 $x=±2$ に極大。Fは(-2,0),(2,∞)で減少、(-∞,-2),(0,2)で増加。x≦−3は傾き1、x≧3は傾き−1の直線。 F の極大値を $H>0$ 、両側の尾部の零点を $±c (c>3)$ と表す。H と c の正確な値は未確定。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

元図から $f$ は原点対称で、水平部分は $x\le-3$ と $x\ge3$ 、零点は $-2,0,2$ です。 $f$ は $-3$ から $-1$ まで減り、 $-1$ から $1$ まで増え、 $1$ から $3$ まで減ります。よって $f'$ は偶関数の形になり、水平部分では0、減少区間で負、増加区間で正です。微分可能性と水平・極値の接線から $f'$ は $x=-3,-1,1,3$ で0です。谷と山の高さは図から読み取った概形として描きます。

$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ とおくと $F'=f$ です。 $f$ が原点対称（奇関数の形）なので $F$ は偶関数で、 $F(0)=0$ です。 $f$ の符号から $F$ は $x<-2$ で増加、 $-2<x<0$ で減少、 $0<x<2$ で増加、 $x>2$ で減少し、極小は $0$ 、極大は $\pm2$ です。 $|x|\ge3$ では $f$ がそれぞれ定数1,−1なので、 $F$ は左側で傾き1、右側で傾き−1の直線になります。図の正負の面積に合わせて高さを概形として合わせ、Fの偶対称性を保って描きます。

保存済みの増減・偶奇性・直線尾部を図にまとめた。 $f'$ は偶関数で、 $|x|\ge3$ では0、 $(-3,-1)$ と $(1,3)$ で負、 $(-1,1)$ で正。 $F$ は偶関数で $F(0)=0$ 、 $F(\pm2)=H>0$ 、零点を $\pm c$ （ $c>3$ ）と表す。 $|x|\ge3$ では傾きが左で1、右で−1の直線になる。原文から極値の高さ $H$ や零点の正確な位置 $c$ は決められないため、添付図は尺度を示さない概形である。

この問題で使う考え方

導関数と単調性の対応
定積分の累積関数
偶奇性による対称性

1問題

2答え

3解答

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