1山口大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1) 直線 $y=x-m$ と放物線 $y=x(1-x)$ の交点の$x$座標を$x$とすると、 $$x-m=x(1-x)\text{すなわち} x^2=m.$$ $m>0$より $x=\pm\sqrt m$ であるから、交点は $P_+=(\sqrt m,\sqrt m-m), P_-=(-\sqrt m,-\sqrt m-m)$ である。したがって、 $$\ell(m)=\sqrt{(2\sqrt m)^2+(2\sqrt m)^2}=2\sqrt{2m}.$$

(2) $m>0$を任意にとる。$f$は偶関数なので、$f(x)=m$の解は$x$と$-x$が対になって現れる。また $f(0)=0\ne m$ であり、交点はちょうど2点だから、その$x$座標は $a_m,-a_m (a_m>0)$ である。両点は同じ高さ$m$にあるので、その距離は$2a_m$。条件と(1)より、 $$2a_m=\ell(m)=2\sqrt{2m}\quad\text{より}\quad a_m=\sqrt{2m}.$$ よって $f(\sqrt{2m})=m$。任意の$t>0$に対して $m=t^2/2$ とおけば $\sqrt{2m}=t$ だから、$f(t)=t^2/2$となる。さらに $f(0)=0$かつ偶関数であることから、すべての実数$x$について $$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}.$$ この関数は偶関数で $f(0)=0$。また $0\le u<v$ なら $v^2-u^2=(v-u)(v+u)>0$ より $f(u)<f(v)$ である。$f(x)=m (m>0)$ の解は $x=\pm\sqrt{2m}$ で、その2点間の距離は $2\sqrt{2m}=\ell(m)$。したがって、求めた関数は条件を満たす。