7弘前大学 2001年 数学 第7問解答・解説

$\displaystyle a=\dfrac{\log 8-\frac23}{3}$ とおく。問題文の $e=2.71\ldots$ より $e^2<8<e^3$ なので $2<\log 8<3$。したがって $\displaystyle \frac49<a<\frac79$、特に $\displaystyle \frac14<a<1$ である。

$0<x\le a$ では絶対値の中身が負または0だから、$\displaystyle f(x)=8x-\log 8+\frac23-2\log x$、$\displaystyle f'(x)=8-\dfrac2x$。よって $\displaystyle 0<x<\frac14$ で減少し、$\displaystyle \frac14<x\le a$ で増加するので、この区間の最小値は $\displaystyle x=\frac14$ で $\displaystyle f(\frac14)=\frac83+\log2$。

$x\ge a$ では $\displaystyle f(x)=2x+\log 8-\frac23-2\log x$、$\displaystyle f'(x)=2-\dfrac2x$。$a<1$ より、$a\le x<1$ で減少し、$x>1$ で増加するので、この区間の最小値は $x=1$ で $\displaystyle f(1)=\frac43+\log8=\frac43+3\log2$。

両者の差は $\displaystyle f(1)-f(\frac14)=2\log2-\frac43=\frac23(\log8-2)>0$（$\log8>2$）である。したがって全体の最小値は $\displaystyle \boxed{\frac83+\log2}$、そのとき $\displaystyle \boxed{x=\frac14}$。