1東京医科歯科大学 2000年 数学 第1問解答・解説

$a=1+i$、$\displaystyle b=\dfrac{1-i}{2}$ とおくと $$\displaystyle ab=\frac{(1+i)(1-i)}2=1$$ より $b=a^{-1}$ である。第 $n$ 回までに $a$ が出た回数を $k$ とすれば、$b$ は $n-k$ 回出ているから $$z_n=a^k b^{n-k}=a^{2k-n}.$$ 復元抽出なので、各 $n$ 回の結果は等確率 $2^{-n}$ であり、$a$ が $k$ 回出る結果は $\displaystyle \binom nk$ 通りである。

(1) $|a|=\sqrt2$ なので、$z_4=1$ ならば $$1=|z_4|=(\sqrt2)^{2k-4}$$ となり、$2k-4=0$、すなわち $k=2$ である。逆に $k=2$ なら $z_4=a^0=1$。よって確率は $$\displaystyle \frac{\binom42}{2^4}=\frac6{16}=\frac38.$$

(2) $|z_{10}|=(\sqrt2)^{2k-10}=2^{k-5}$ である。$k\le7$ なら $2^{k-5}\le4<6$、$k\ge8$ なら $2^{k-5}\ge8>6$ だから、条件は $0\le k\le7$ と同値である。したがって $$\displaystyle \Pr(|z_{10}|<6) =\frac{\sum\limits _{k=0}^{7}\binom{10}{k}}{2^{10}} =1-\frac{\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}}{2^{10}} =1-\frac{45+10+1}{1024} =\frac{121}{128}.$$

(3) $n$ は偶数なので $2k-n=2r$、ただし $\displaystyle r=k-\dfrac n2$ は整数である。また $(1+i)^2=2i$ より $$z_n=(1+i)^{2r}=(2i)^r.$$ $r$ が偶数なら $i^r$ は実数、$r$ が奇数なら $i^r=\pm i$ なので $z_n$ は純虚数となる。従って $z_n$ が虚数となるのは $\displaystyle k-\dfrac n2$ が奇数のときである。 $n\ge1$ について $$\displaystyle \sum\limits _{\substack{0\le k\le n\\k\ {\rm 偶数}}}\binom nk = \sum\limits _{\substack{0\le k\le n\\k\ {\rm 奇数}}}\binom nk =2^{n-1},$$ これは $(1+1)^n=2^n$、$(1-1)^n=0$ の和と差から従う。したがって $k$ の偶奇のどちらを指定しても該当する結果は $2^{n-1}$ 通りであり、求める確率は $$\displaystyle \frac{2^{n-1}}{2^n}=\frac12.$$