3東京医科歯科大学 2000年 数学 第3問解答・解説

(1) $y=f(x)$ とおくと $e^y=x+\sqrt{x^2-1}$ であり、その共役な式は $e^{-y}=x-\sqrt{x^2-1}$ だから、$g(y)=(e^y+e^{-y})/2$。また $x>1$ で $$\displaystyle f'(x)=\frac{1+x/\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac1{\sqrt{x^2-1}}.$$ したがって $C_1$ の法線の傾きは $-\sqrt{a^2-1}$。一方、$g'(f(b))=(e^{f(b)}-e^{-f(b)})/2=\sqrt{b^2-1}$ より、$C_2$ の法線の傾きは $-1/\sqrt{b^2-1}$。平行条件から $$(a^2-1)(b^2-1)=1,$$ よって $b=a/\sqrt{a^2-1}$（$a>1$）。端点 $a=1$ の法線は水平だが、$C_2$ の法線は水平にならない。

(2) $c=g(1)=(e+e^{-1})/2$、$s=\sqrt{c^2-1}=(e-e^{-1})/2$ とおく。この点で $f'(c)=1/s$ なので、法線は $$y-1=-s(x-c).$$ この直線の $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $c+1/s$。また部分積分により $$\displaystyle \int f(x)\,dx=xf(x)-\sqrt{x^2-1}$$ だから、曲線と $x$ 軸の間の面積は $$\displaystyle \int_1^c f(x)\,dx=c-s=e^{-1}.$$ 直線と $x$ 軸でできる三角形の面積は $1/(2s)=1/(e-e^{-1})$。求める面積は $$\displaystyle e^{-1}+\frac1{e-e^{-1}}.$$

(3) $h(t)=t-f(t)\ (t\ge1)$ とおくと $$\displaystyle h'(t)=1-\frac1{\sqrt{t^2-1}}.$$ よって $h$ は $1<t<\sqrt2$ で減少し、$t>\sqrt2$ で増加するから、最小値は $h(\sqrt2)=\sqrt2-\log(1+\sqrt2)$。$C_1$ は直線 $y=x$ の下側、$C_2$ はその上側にある。点 $P=(a,f(a))$, $Q=(f(b),b)$ と、直線 $y=x$ に垂直な単位ベクトル $(-1,1)/\sqrt2$ を用いると $$\displaystyle |PQ|\ge \frac{h(a)+h(b)}{\sqrt2}\ge \sqrt2\,h(\sqrt2).$$ $a=b=\sqrt2$ とすれば $P,Q$ の座標和が等しくなり、この下限が実現する。したがって最小値は $$\sqrt2\bigl(\sqrt2-\log(1+\sqrt2)\bigr)=2-\sqrt2\log(1+\sqrt2).$$