II鳥取大学 2001年 数学 第II問解答・解説

・ 取り出した玉そのものを区別すると、4個を順に取り出す方法は $$8\cdot7\cdot6\cdot5=1680$$ 通りで、いずれも同様に確からしい。

最初の数字で場合分けする。最初が0なら、残り3個で表す数は高々333であるから、どの取り出し方も条件を満たす。この場合は $$2\cdot7\cdot6\cdot5=420$$ 通り。最初が1なら、できる数は1000以上1333以下なので、やはりすべて条件を満たし、420通りである。

最初が2なら、2001以下となる候補は2000と2001だけである。2000は0の玉を3個必要とするため不可能。一方、2001となる取り出し方は、最初の2の玉の選び方が2通り、続く2個の0の順次選択が$2\cdot1$通り、最後の1の玉の選び方が2通りなので、$2\cdot2\cdot1\cdot2=8$通り。最初が3の場合は条件を満たさない。

したがって求める確率は $$\displaystyle \frac{420+420+8}{1680}=\frac{848}{1680}=\frac{53}{105}.$$

・ 玉を区別して2個を同時に取り出す方法は $$\displaystyle \binom{2(n+1)}{2}=(n+1)(2n+1)$$ 通り。番号の和が$n$となる番号の組を、$i<j$なら$(i,j)$とする。

$n$が奇数なら、$i+j=n$を満たす異なる番号の組は$(n+1)/2$組あり、各組について玉の選び方は$2\cdot2=4$通りである。よって有利な場合は$2(n+1)$通りで、確率は $$\displaystyle \frac{2(n+1)}{(n+1)(2n+1)}=\frac{2}{2n+1}.$$

$n$が偶数なら、異なる番号の組は$n/2$組で、各組につき4通り。同じ番号どうしとなる組は$(n/2,n/2)$の1組だけであり、その番号の玉2個をともに選ぶ方法は1通りである。したがって有利な場合は$\displaystyle 4\cdot\frac n2+1=2n+1$通りで、確率は $$\displaystyle \frac{2n+1}{(n+1)(2n+1)}=\frac{1}{n+1}.$$