秋田大学 2001年数学第3問解答・解説

場合の数と確率統計的な推測極限

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1問題

秋田大学2001年度第3問

x 軸上を, 以下の規則(a), (b)に従って, 1 秒ごとに移動する点 R がある。

(a) R は時刻 n = 0 のとき原点にある。 (b) R の座標が x のとき, 1 秒後に, 座標 $x + 1$ へ移動する確率は p, 座標 x - 1 へ移動する確率は 1 - p である。

n を 0 以上の整数とし，時刻 n 秒での R の座標を $X_{n}$ とする。次の問いに答えよ。

(i) $X_{n}$ の期待値を求めよ。

(ii) $(X_{n})^{2}$ の期待値を求めよ。

(iii) (ii)で求めた期待値を $E_{n}$ とする。 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{E_{n}}{n}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i) $\mathbb E[X_n]=n(2p-1).\quad$ (ii) $\mathbb E[X_n^2]=n+n(n-1)(2p-1)^2.\quad$ (iii) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{E_n}{n}=\begin{cases}1,&p=\frac12,\\+\infty,&p\ne\frac12.\end{cases}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\mu=2p-1$ とおく。時刻 n に X_n=x なら、　 $\mathbb E[X_{n+1}\mid X_n=x]=p(x+1)+(1-p)(x-1)=x+\mu$ .　したがって $\mathbb E[X_{n+1}]=\mathbb E[X_n]+\mu$ ,　 $\mathbb E[X_0]=0$ より　 $\mathbb E[X_n]=n\mu=n(2p-1)$ .　また　 $\mathbb E[X_{n+1}^2\mid X_n=x]=p(x+1)^2+(1-p)(x-1)^2=x^2+2\mu x+1$ .　 $S_n=\mathbb E[X_n^2]$ とおくと　 $S_{n+1}=S_n+2\mu\mathbb E[X_n]+1=S_n+2n\mu^2+1$ ,　 S_0=0.　ゆえに　 $\displaystyle E_n=S_n=\sum\limits _{j=0}^{n-1}(2j\mu^2+1)=n+n(n-1)\mu^2=n+n(n-1)(2p-1)^2$ .　 $\displaystyle \frac{E_n}{n}=1+(n-1)(2p-1)^2$ . よって p= $\displaystyle \frac12$ なら極限は 1、 $\displaystyle p\ne\frac12$ なら + $\infty$ に発散する。

この問題で使う考え方

確率の基本法則
期待値
確率変数と確率分布
確率変数の平均・分散・標準偏差
数列の極限

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