香川大学 2014年数学第2問解答・解説

数学的な表現の工夫数列

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1問題

香川大学2014年度第2問

行列 $A=\begin{pmatrix}0&-1\\2&3\end{pmatrix}$ について，次の問に答えよ。ただし， $E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ とする。

1. $A^{2}-3A+2E$ を求めよ。

2. 自然数 $n$ に対して， $E+A+A^{2}+\cdots+A^{n}=a_{n}A+b_{n}E$ となる実数 $a_{n}$ ， $b_{n}$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$A^2-3A+2E=O\quad$ 。自然数 $\quad n\quad$ に対して $\quad E+A+\cdots+A^n=a_nA+b_nE\quad$ とおくと、 $\quad a_n=2^{n+1}-n-2\quad$ 、 $\quad b_n=2n+3-2^{n+1}\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

直接計算すると $A^2=\begin{pmatrix}-2&-3\\6&7\end{pmatrix}=3A-2E,$ 従って $A^2-3A+2E=O$ 。

この関係を用いると、すべての整数 $k\ge0$ について $A^k=(2^k-1)A+(2-2^k)E$ が成り立つ。実際、 $k=0,1$ ではそれぞれ $E,A$ となる。式が $k$ で成り立つとき、両辺に左から $A$ を掛けて $A^2=3A-2E$ を使えば、係数は $2^{k+1}-1$ と $2-2^{k+1}$ になり、帰納法で示せる。

これを $k=0$ から $n$ まで加えると $\displaystyle E+A+\cdots+A^n =\left(\sum\limits _{k=0}^n(2^k-1)\right)A +\left(\sum\limits _{k=0}^n(2-2^k)\right)E.$ 等比数列の和から $a_n=2^{n+1}-n-2$ 、 $b_n=2n+3-2^{n+1}$ を得る。

この問題で使う考え方

行列の積
数学的帰納法
等比数列の和

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