1香川大学 2014年 数学 第1問解答・解説

$f(x)=xe^{2-x}$,　 $f^{\prime}(x)=e^{2-x}(1-x)$,　 $f^{\prime\prime}(x)=e^{2-x}(x-2)$. $\displaystyle \min\limits _{x\in\mathbb R} f^{\prime}(x)=f^{\prime}(2)=-1$,　 $f(2)=2$,　 $\ell$:y=-x+4. $\displaystyle S=\int_0^2(4-x-xe^{2-x})\,dx=9-e^2$.

$f(x)=xe^{2-x}$とすると$f^{\prime}(x)=e^{2-x}(1-x)$、$f^{\prime\prime}(x)=e^{2-x}(x-2)$。$f^{\prime}$の最小値は$x=2\text{ で }-1$。よって接線は点$(2,2)$を通り傾き−1、$\ell:y=-x+4$。$f^{\prime\prime}<0$ on $x<2$でfは凹なので接線ℓは$x=0$から2で上にあり、領域面積は$\displaystyle \int_0^2(4-x-xe^{2-x})\,dx$。前半の積分は$6$、$\text{後半は }e^2-3$なので面積$9-e^2$。