4山形大学 2014年 数学 第4問解答・解説

(1) 問題の行列を $A$、指定行列を $P$ とする。直接計算すると $$P^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\5&-4\end{pmatrix},\qquad AP=\begin{pmatrix}8&3\\10&3\end{pmatrix},$$ したがって $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}=:D.$$

(2) $A=PDP^{-1}$ なので、行列の積を繰り返すと $A^n=PD^nP^{-1}$ である。よって $$A^n= \begin{pmatrix}4\cdot2^n&3^n\\5\cdot2^n&3^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&1\\5&-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\cdot3^n-4\cdot2^n&4\cdot2^n-4\cdot3^n\\ 5\cdot3^n-5\cdot2^n&5\cdot2^n-4\cdot3^n \end{pmatrix}.$$

(3)(i) $A^n=\begin{pmatrix}p_n&q_n\\r_n&s_n\end{pmatrix}$ とし、 $U_n=2p_n+q_n,\ V_n=2r_n+s_n$ とおく。(2)より $$V_n=6\cdot3^n-5\cdot2^n>0\qquad(n\ge1).$$ また $A^{n+1}=AA^n$ から $$U_{n+1}=7U_n-4V_n,\qquad V_{n+1}=5U_n-2V_n.$$ $n=1$ では $U_1=10,V_1=8$ であり、 $a_2=(7\cdot2-4)/(5\cdot2-2)=10/8=U_1/V_1$。 $a_{n+1}=U_n/V_n$ と仮定すると、与えられた漸化式より $$\displaystyle a_{n+2}=\frac{7U_n-4V_n}{5U_n-2V_n} =\frac{U_{n+1}}{V_{n+1}}.$$ 分母は $V_{n+1}>0$ なので、帰納法で所要の関係が示された。

(3)(ii) (2)の成分を用いると $$U_n=6\cdot3^n-4\cdot2^n,\qquad V_n=6\cdot3^n-5\cdot2^n.$$ したがって、添字を一つずらして $$\displaystyle \boxed{\displaystyle a_n=\frac{6\cdot3^{n-1}-4\cdot2^{n-1}} {6\cdot3^{n-1}-5\cdot2^{n-1}}\quad(n\ge1)}$$ を得る。$n=1$でも右辺は $2$ で初項と一致する。