山形大学 2010年数学第2問解答・解説

数学的な表現の工夫数列

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1問題

山形大学2010年度第2問

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して $\Delta = ad - bc$ とおく.このとき，

行列

$S = \left( \begin{array}{l l} s - 2 & 4 - s \\ 4 - s & 2 - s \end{array} \right), \quad T = \left( \begin{array}{l l} 1 - t & t ^ {2} - 1 \\ t + 1 & t - 1 \end{array} \right)$

について，次の問に答えよ。

(1) S が $\Delta = -2$ を満たすとき, 次の (i), (ii), (iii) に答えよ.

(i) S を求めよ.

(ii) $S^{2}$ を求めよ.

(iii) $S + S^{2} + \cdots + S^{2n-1} + S^{2n}$ を求めよ.ただし，n は自然数とする.

(2) T が $\Delta = 0$ を満たすとき, 次の (i), (ii), (iii) に答えよ.

(i) T を求めよ.

(ii) $T^{2}$ を求めよ.

(iii) $(E + T)^{n}$ を求めよ.ただし，E は 2 次の単位行列とし，n は自然数とする.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)(i) $S=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ 。(ii) $S^2=2E$ 。(iii) $S+\cdots+S^{2n}=(2^n-1)\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}$ 。(2)(i) $t=0,1,-3$ に対し $T=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}4&8\\-2&-4\end{pmatrix}$ 。(ii) いずれも $T^2=O$ 。(iii) $(E+T)^n=E+nT$ 、すなわち順に $\begin{pmatrix}1+n&-n\\n&1-n\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1+4n&8n\\-2n&1-4n\end{pmatrix}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

PDF p1医学部医学科、p3問2の行列成分、Δ条件、自然数nを確認。

(1) 与えられた成分から $\Delta(S)=-\{(s-2)^2+(s-4)^2\}=-2\{(s-3)^2+1\}.$ $\Delta=-2$ より $s=3$ 。従って $S=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad S^2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2E.$ 直接乗算を反復すると $S^{2k}=2^kE$ 、 $S^{2k-1}=2^{k-1}S$ 。等比数列の和から $\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{2n}S^j=(2^n-1)S+(2^{n+1}-2)E=(2^n-1)\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}.$ (2) $\Delta(T)=-t(t-1)(t+3)$ より $t=0,1,-3$ 。それぞれ $T=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}4&8\\-2&-4\end{pmatrix}.$ どれも基本乗算で $T^2=O$ 。 $(E+T)^1=E+T$ であり、 $(E+nT)(E+T)=E+(n+1)T$ なので帰納法で $(E+T)^n=E+nT$ 。従って答えは順に $\begin{pmatrix}1+n&-n\\n&1-n\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}1+4n&8n\\-2n&1-4n\end{pmatrix}.$

この問題で使う考え方

基本乗算
数学的帰納法
等比数列の和

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