6愛媛大学 2011年 数学 第6問解答・解説

(1) $M=4A=\begin{pmatrix}1&-\sqrt3\\-\sqrt3&-1\end{pmatrix}$ とすると $M^2=4E$ なので $\displaystyle A^2=\frac14E$。Aの非対角成分は0でないため $pE+qA$との係数比較で $\displaystyle p=\frac14,\ q=0$。(2) $\displaystyle A^2=\frac14E$ から $A^{2k}=4^{-k}E$、$A^{2k+1}=4^{-k}A$。したがって偶数次と奇数次を別々に加えると、$\displaystyle E+A+\cdots+A^{2n}=\left(\sum\limits _{k=0}^n4^{-k}\right)E+\left(\sum\limits _{k=0}^{n-1}4^{-k}\right)A$。等比数列の和より $\displaystyle x_n=\frac43(1-4^{-(n+1)}),\quad y_n=\frac43(1-4^{-n})$。添字確認として$n=0$まで式を拡張すればEのみなので$(x_0,y_0)=(1,0)$、$n=1$では$\displaystyle E+A+A^2=\frac54E+A$なので$\displaystyle (x_1,y_1)=(\frac54,1)$。 (3) 両方の4の負の冪は0に近づくので$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_n=\lim\limits _{n\to\infty}y_n=\frac43$。(4) $\displaystyle xE+yA=\frac43(E+A)$。また$\displaystyle (E-A)(E+A)=E-A^2=\frac34E$なので、$\displaystyle \frac43(E+A)$は$E-A$の逆行列であり、等式が成り立つ。