2徳島大学 2001年 数学 第2問解答・解説

(1) 商の微分法より $$\displaystyle f'(x)=\frac{(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.$$

(2) 分母は常に正なので、$f'(x)$ は $|x|<1$ で正、$|x|>1$ で負である。したがって $f$ は $x<-1$ で減少、$-1<x<1$ で増加、$x>1$ で減少する。$\displaystyle f(-1)=-\frac12, f(1)=\frac12$、また $f(0)=0$ で、$f$ は奇関数かつ $x\to\pm\infty$ で $f(x)\to0$。よってグラフは原点を通り、水平漸近線は $y=0$、最大値は $\displaystyle \frac12$（$x=1$）、最小値は $\displaystyle -\frac12$（$x=-1$）。

(3) 等式 $f(\alpha)=f(\beta)$ を整理すると $$\alpha(1+\beta^2)=\beta(1+\alpha^2),\qquad (\beta-\alpha)(1-\alpha\beta)=0.$$ $\alpha<\beta$ より $\alpha\beta=1$。原始関数を使って $$\displaystyle \int_\alpha^\beta \frac{x}{1+x^2}\,dx =\frac12\log\frac{1+\beta^2}{1+\alpha^2} =\frac12\log\frac{1+\alpha^{-2}}{1+\alpha^2} =-\log\alpha=\log\beta.$$

導関数の符号から増減と極値を決め、奇関数性と無限遠での極限を添えてグラフの形を示す。等しい関数値の条件を通分して $\alpha\beta=1$ を得ると、積分の端点比が $\beta^2$ となる。