徳島大学 2001年数学第1問解答・解説

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1問題

徳島大学2001年度第1問

各学部共通。 $a,b,c$ を定数として，行列 $A=\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}$ および $X=E+A$ を考える。ただし， $E$ は3次の単位行列とする。次の問いに答えよ。

(1) $A^2$ および $A^3$ を求めよ。

(2) $n$ を自然数とするとき， $\displaystyle X^n=E+nA+\frac{n(n-1)}{2}A^2$ が成り立つことを証明せよ。

(3) $\begin{pmatrix}-1&1&2\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}^{15}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad A^2=\begin{pmatrix}0&0&ab\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\quad$ , $\quad A^3=O\quad$ . (2) $\displaystyle \quad X^n=E+nA+\frac{n(n-1)}2A^2\quad$ . (3) $\quad \begin{pmatrix}-1&15&30\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$A=\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}$ より $A^2=\begin{pmatrix}0&0&ab\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ 、 $A^3=O$ 。

$n=1$ で $\displaystyle X^n=E+nA+\frac{n(n-1)}2A^2$ は成立する。これを $k$ で仮定し $X^{k+1}=X^k(E+A)$ とすると $A^3=O$ より $\displaystyle X^{k+1}=E+(k+1)A+\frac{k(k+1)}2A^2$ 。よって帰納法で全ての自然数nについて成立。

$B=\begin{pmatrix}0&-1&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ とすれば与えられた行列は $-(E+B)$ 、かつ $B^2=O$ 。従ってその15乗は $-(E+15B)=\begin{pmatrix}-1&15&30\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ 。

上三角行列の積で冪零性を求め、帰納法で冪公式を証明し、冪零成分の二乗が0である特殊例に適用。

この問題で使う考え方

成分ごとの行列積
冪零性
数学的帰納法

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