4徳島大学 2001年 数学 第4問解答・解説

曲線を $y=f(x)$ とおくと，$$f(x)=x^4-8x^2+2x+20,\qquad f'(x)=4x^3-16x+2.$$ 接点を $a,b\;(a\ne b)$ とすると，2本の接線が一致するための条件は，傾きと切片がそれぞれ等しいことである。$$f'(a)=f'(b)\quad\text{より}\quad 4(a-b)(a^2+ab+b^2-4)=0,$$ よって $a^2+ab+b^2=4$。また，接点を $t$ とする接線の切片は $f(t)-tf'(t)=-3t^4+8t^2+20$ だから，$$(a-b)(a+b)\{-3(a^2+b^2)+8\}=0.$$ $a\ne b$ と $a^2+b^2=4-ab$ より，$a+b=0$ または $ab=4/3$。後者では $(a+b)^2=16/3$ となり，$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=0$ となって $a\ne b$ に反する。したがって $a+b=0$，さらに $a^2+ab+b^2=4$ より $ab=-4$。ゆえに接点は $2,-2$ である。$f(2)=8,\ f'(2)=2$ より，$$l:y=2(x-2)+8=2x+4.$$ 次に，$P=(u,2u+4)$ とおく。接点を $t$ とする接線が $P$ を通る条件は，$$2u+4=f(t)+f'(t)(u-t),$$ すなわち，$$(t^2-4)(3t^2-4ut+4)=0.$$ $t=\pm2$ は直線 $l$ を与える。前半で $l$ 以外の共通接線はないと分かったので，$l$ と異なる接線の本数は，二次方程式 $3t^2-4ut+4=0$ の実数解のうち，$t=\pm2$ に当たるものを除いて数えればよい。その判別式は $16(u^2-3)$ である。$|u|<\sqrt3$ なら該当する実数解はなく，$|u|=\sqrt3$ なら重解 $t=2u/3$ が1つあり，これは $\pm2$ ではない。$|u|>\sqrt3$ なら異なる2解があり，そのうち $t=\pm2$ となるのはそれぞれ $u=\pm2$ の場合に限る。よって，求める $u$ は $u=\pm\sqrt3,\pm2$。直線 $l$ 上での座標に戻すと，$$P=(2,8),\;(-2,0),\;(\sqrt3,4+2\sqrt3),\;(-\sqrt3,4-2\sqrt3).$$

異なる2点で接する接線の条件を、接点の傾きと切片の一致で整理する。(1)でその直線を特定し、(2)では直線上の点を通る接線の接点方程式を因数分解して、異なる接線がちょうど1本となる場合を数える。