徳島大学 2001年数学第3問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

徳島大学2001年度第3問

医学部・歯学部・薬学部志願者用。複素数平面上において，点 $A(\alpha)\ (|\alpha|>1)$ から，原点 $O$ を中心とする半径1の円に接線を2本引く。これら2接線と円との2つの接点のうち，一方の接点を $B$ ，他方を $C$ とし，直線 $BC$ 上に点 $P(z)$ があるとする。点 $B$ を表す複素数を $\beta$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 線分 $OB$ と線分 $AB$ が直交することより，適当な実数 $s$ によって $\displaystyle \beta=\frac{\alpha}{1-si}$ と表されることを示せ。

(2) $z=\beta+\alpha ti\qquad(t\text{ は実数})$ と表されることを示せ。

(3) $\bar{\alpha}z+\alpha\bar{z}$ は点 $A,P$ のとり方に関係なく一定であることを示し，その値を求めよ。ただし， $\bar{\alpha},\bar{z}$ はそれぞれ $\alpha,z$ の共役な複素数を表す。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) β=α/(1−si) (s∈R)$ 。 $(2) z=β+αti (t∈R)$ 。 $(3) ᾱz+αz̄=2$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$|\beta|=1$ であり、接点Bでは $OB\perp AB$ 。従って $\operatorname{Re}((\alpha-\beta)\bar\beta)=0, \quad \operatorname{Re}(\alpha\bar\beta)=1.$ (1) よってある実数sについて $\alpha\bar\beta=1-si$ と書ける。 $\bar\beta\beta=1$ だから $\alpha=(1-si)\beta$ 、すなわち $\beta=\alpha/(1-si)$ 。

(2) Cの複素数を $\gamma$ とする。接点Cについても同じ直交条件から $\bar\alpha\gamma+\alpha\bar\gamma=2, \qquad \bar\alpha\beta+\alpha\bar\beta=2.$ 差を取り、 $u=(\gamma-\beta)/(\alpha i)$ とおくと $i|\alpha|^2(u-\bar u)=0$ 。従って $u$ は実数であり、直線BC上の点は $z=\beta+q(\gamma-\beta)=\beta+\alpha i(qu)$ と表せる。実数 $t=qu$ とおけば求める形となる。

(3) (2)を代入すると $\bar\alpha z+\alpha\bar z =\bar\alpha\beta+\alpha\bar\beta+i|\alpha|^2t-i|\alpha|^2t=2,$ (1)の関係から一定値は2である。

この問題で使う考え方

複素数の共役と実部
接線と半径の垂直
直線の方向ベクトル表示

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。