4新潟大学 2001年 数学 第4問解答・解説

逆変換は $z=w/(1-w)$（$w\ne1$）である。

(1) $w=u+iv$ とおくと $$\displaystyle z=\frac{(u+iv)(1-u+iv)}{(1-u)^2+v^2},\qquad \operatorname{Re}z=\frac{u(1-u)-v^2}{(1-u)^2+v^2}.$$ $z$ が虚軸上にある条件は $\operatorname{Re}z=0$ だから、$u^2+v^2=u$、すなわち $$\displaystyle \left|w-\frac12\right|=\frac12.$$ ただし $w=1$ は有限の $z$ に対応しないので除く。逆にこの円上で $w\ne1$ の点は逆変換で実部0となるため、これが全軌跡である。

(2) 逆変換を代入して $$\displaystyle |z-1|=1\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad\left|\frac{2w-1}{1-w}\right|=1 \quad\text{、すなわち}\quad |2w-1|=|1-w|.$$ 両辺を二乗し、$w=u+iv$ として整理すると $$\displaystyle (2u-1)^2+4v^2=(u-1)^2+v^2 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad\left|w-\frac13\right|=\frac13.$$ この円は $w=1$ を含まないので、その全体が軌跡である。