2新潟大学 2001年 数学 第2問解答・解説

平行四辺形なので$\mathbf a,\mathbf b$は一次独立であり，$\overrightarrow{AC}=\mathbf a+\mathbf b$である。

(1) $F$は辺$BC$上にあるから，ある実数$\lambda$について $$\overrightarrow{AF}=\mathbf a+\lambda\mathbf b.$$ また$\overrightarrow{AH}=q\mathbf b$であり，$HF\parallel AB$だから $$\overrightarrow{HF}=\mathbf a+(\lambda-q)\mathbf b$$ の$\mathbf b$の係数が0となり，$\lambda=q$。よって $$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE} =(1-p)\mathbf a+q\mathbf b.$$ 同様に，$G$は辺$CD$上にあるので$\overrightarrow{AG}=\mu\mathbf a+\mathbf b$とおける。$EG\parallel BC$より $$\overrightarrow{EG}=(\mu-p)\mathbf a+\mathbf b$$ の$\mathbf a$の係数が0であり，$\mu=p$。したがって $$\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AH} =p\mathbf a+(1-q)\mathbf b.$$

(2) $M$は直線$AC$上にあるから$\overrightarrow{AM}=u(\mathbf a+\mathbf b)$とおける。設問の表示と(1)から $$\overrightarrow{AM} =\{p+s(1-p)\}\mathbf a+sq\mathbf b.$$ $\mathbf a,\mathbf b$の係数を比較すると $$\displaystyle p+s(1-p)=sq,\qquad s=\frac{p}{p+q-1}.$$ 同様に，$\overrightarrow{AN}=v(\mathbf a+\mathbf b)$とおけば $$\overrightarrow{AN}=tp\mathbf a+\{q+t(1-q)\}\mathbf b,$$ したがって $$\displaystyle tp=q+t(1-q),\qquad t=\frac{q}{p+q-1}.$$ ここで$p+q-1>0$は仮定$\displaystyle \frac12<p,\frac12<q$から従う。

(3) $d=p+q-1$とおく。(2)を用いると $$\displaystyle \overrightarrow{AM} =\left(p+\frac{p(1-p)}d\right)\mathbf a+\frac{pq}d\mathbf b =\frac{pq}d(\mathbf a+\mathbf b),$$ また $$\displaystyle \overrightarrow{AN} =\frac{pq}d\mathbf a+\left(q+\frac{q(1-q)}d\right)\mathbf b =\frac{pq}d(\mathbf a+\mathbf b).$$ よって$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AN}$であり，2点$M,N$は一致する。