1新潟大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1) 条件から$$a-b+c=0,\qquad 4a+2b+c=3.$$ 2式の差より$a+b=1$、また第1式から$a-b=-c$。よって$$\displaystyle a=\frac{(a+b)+(a-b)}2=\frac{1-c}{2},\qquad b=\frac{(a+b)-(a-b)}2=\frac{1+c}{2}.$$

(2)$h(x)=g(x)-f(x)$とおくと、$h(-1)=h(2)=0$であり、$h(0)=r-c>0$。高々2次の多項式なので$h(x)=K(x+1)(x-2)$と表せる。$x=0$を代入すると$-2K=r-c$、したがって$$\displaystyle g(x)-f(x)=h(x)=\frac{r-c}{2}(x+1)(2-x).$$ 仮定$c<r$と$-1<x<2$から$r-c>0,\ x+1>0,\ 2-x>0$であるため$g(x)-f(x)>0$。よって$f(x)<g(x)$。