(1)A2=A の成分を比較するとa2+bc=a,b(a+d−1)=0,c(a+d−1)=0,d2+bc=d.b2+c2=0 より b,c の少なくとも一方は0でないから、中央2式から a+d=1. よって d=1−a であり、a2−a+bc=0.したがってa=21±1−4bc,d=21∓1−4bc.a,d が実数となる条件は 1−4bc≧0、すなわち bc≦41 である。元の条件 (b,c)=(0,0) も必要である。逆に、この範囲の b,c と上の a,d をとれば a+d=1, a2−a+bc=0 となり、A2=A の4成分の等式を満たす。よって条件は必要十分。(2)a=6 かつ b2+c2=0 なので、(1)の議論から a+d=1、したがって d=−5. また a2−a+bc=0 より bc=6−36=−30.b は −30 の整数約数であり、b を選べば c=−30/b は一意に定まる。30 の正の約数は 1,2,3,5,6,10,15,30 の8個で、b はその正負の計16通り。各組は b,c=0 を満たす。したがって行列は 16 個。
