3信州大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $C:y=x^2+4$,　 $y'=2x$,　 $y'(2)=4$$\therefore$$\ell_1:y=4x$,　 $P=(a,4a)$, $a\ne2$.接点を $(t,t^2+4)$ とおくと、その接線は $y=2tx-t^2+4$.これが P を通る条件は　 $4a=2ta-t^2+4$$\text{、すなわち }$$(t-2)(t-(2a-2))=0$. $t=2$ は $\ell_1$ に対応するので、他の接点は $t=2a-2$. $\therefore$　 $\ell_2:y=2(2a-2)x-(2a-2)^2+4=4(a-1)x-4a(a-2)$.

(2)　 $\ell_1$,$\ell_2$ の交点 P の x 座標は a で、接点の x 座標 $2,\quad t=2a-2$ の中点である。 $\displaystyle d=\frac{|2-t|}{2}=|a-2|$ とする。接点 u における接線と曲線との差は　 $(x^2+4)-(2ux-u^2+4)=(x-u)^2$.交点を境に左右の面積はそれぞれ $\displaystyle \int_0^d s^2\,ds=\frac{d^3}{3}$ だから、　 $\displaystyle S=2\int_0^d s^2\,ds=\frac23|a-2|^3$. $\displaystyle S=\frac1{12}$$\text{、すなわち }$$\displaystyle |a-2|^3=\frac18$$\text{、すなわち }$$\displaystyle |a-2|=\frac12$$\text{、すなわち }$ $\displaystyle a=\frac32,\quad \frac52$. $P=(a,4a)$ より $\displaystyle P=\left(\frac32,6\right),\quad \left(\frac52,10\right)$.

Aの接線は$\ell_1:y=4x$であり、$P=(a,4a)$, $a\ne2$。接点$(t,t^2+4)$の接線は$y=2tx-t^2+4$。Pを通る条件は$(t-2)(t-(2a-2))=0$なので、もう一つの接点は$t=2a-2$、$\ell_2:y=4(a-1)x-4a(a-2)$。二接点間の中点が接線の交点で、接点から交点までの距離は$|a-2|$。接線と放物線の差は接点uに対して$(x-u)^2$だから囲まれた面積は$\displaystyle \frac{2|a-2|^3}{3}$。これを$\displaystyle \frac1{12}$とおくと$\displaystyle |a-2|=\frac12$、$\displaystyle P=(\frac32,6),\quad (\frac52,10)$。