4信州大学 2002年 数学 第4問解答・解説

(1) $x_A=\alpha,\ x_B=\beta$ とおく。中点条件から $$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{3\pi}{4},\qquad \sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac32.$$ 恒等式 $\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1-\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$ を用いると $$\displaystyle \frac32=1+\frac{\sqrt2}{2}\cos(\alpha-\beta),\qquad \cos(\alpha-\beta)=\frac1{\sqrt2}.$$ $0\le |\alpha-\beta|\le\alpha+\beta=3\pi/4$ より $|\alpha-\beta|=\pi/4$。したがって $$\displaystyle \{\alpha,\beta\}=\left\{\frac12\left(\frac{3\pi}{4}-\frac\pi4\right),\frac12\left(\frac{3\pi}{4}+\frac\pi4\right)\right\}=\left\{\frac\pi4,\frac\pi2\right\}.$$

(2) 曲線上の点は $(\pi/4,1/2),(\pi/2,1)$ で、線分 $AB$ の直線は $y=2x/\pi$。 $$(\sin^2x)''=2\cos2x<0\qquad(\pi/4<x<\pi/2)$$ より、この区間で曲線は弦より上にある。したがって面積は $$\displaystyle S=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\sin^2x-\frac{2x}{\pi}\right)dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}-\frac{x^2}{\pi}\right]_{\pi/4}^{\pi/2}.$$ 原始関数の値は $x=\pi/2$ で0、$x=\pi/4$ で $\pi/16-1/4$ だから、 $$\displaystyle S=\frac14-\frac\pi{16}=\frac{4-\pi}{16}.$$